¿Cómo puedo integrar $\frac{1}{\Psi}\frac{\partial \Psi}{\partial x} = Cx$

Question

¿Cómo puedo integrar lo siguiente?

$$\frac{1}{\Psi}\frac{\partial \Psi}{\partial x} = Cx$$

donde $C$ es una constante.

Se supone que debo obtener una función gaussiana a partir de lo anterior integrando pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Puede hacer lo siguiente. Desde

$$\frac{1}{\Psi}\frac{\partial \Psi}{\partial x} = Cx,$$

Podemos escribir la siguiente ecuación interal

$$\int \frac{1}{\Psi} \mathrm{d}\Psi = C \int x \mathrm{d}x,$$

$$\ln \Psi + \kappa = \frac{1}{2} C x^{2}.$$

donde $\kappa$ es nuestra constante de integración. Lo anterior se puede simplificar para obtener su forma gaussiana

$$\Psi = e^{\ln \Psi} = e^{\frac{1}{2}Cx^{2} + \kappa} = \kappa' e^{\frac{1}{2}Cx^{2}},$$

donde $\kappa' = e^{\kappa}$ . Nota. Como comprobación se puede diferenciar ahora ambos lados de

$$\ln \Psi + \kappa = \frac{1}{2} C x^{2},$$

con respecto a $x$ para obtener su ecuación original.

Editar. Basado en el comentario de abajo. En este caso, la función $\Psi$ He supuesto que es una función de $x$ sólo como no hay nada que sugiera lo contrario. En este caso, no se requiere una derivada parcial y la derivada puede tratarse como odinaria. Sin embargo, si tenemos $\Psi = \Psi(x, \xi)$ entonces tendríamos que incorporar la variable $\xi$ en la constante de integración. La respuesta sería

$$\Psi(x, \xi) = e^{\ln \Psi(x, \xi)} = e^{\frac{1}{2}Cx^{2} + \kappa(\xi)} = \kappa'(\xi) e^{\frac{1}{2}Cx^{2}},$$

donde esto se puede comprobar tomando la derivada parcial $\partial \Psi(x, \xi) /\partial x$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Tiene un derivado de $\log \Psi$ en el lado izquierdo.

Answer 3

Lo siento, no puedo comentar en el lugar correcto debido a la baja reputación.

@Killercam, nunca hay que ''tratar esto [la derivada parcial] como una derivada ordinaria''. Hacerlo ignora la posibilidad de otras variables, y no encuentra la solución más general.

El único cambio en la derivación de Killercam, es que $\kappa$ debe ser una función de cualquier variable que se mantenga constante durante la derivada parcial, $\partial_x$ .

Por ejemplo, consideremos la función sobre $\mathbb{R}^3$

$$ \Psi(x,y,z) = f(y,z)\,e^{\frac{1}{2}Cx^2}. $$

Si se cumple la derivada parcial $y$ y $z$ constante, encontramos que $\partial_x\Psi = Cx\Psi$ . Exactamente como se requiere.