Lógica proposicional: Encontrar una fórmula F con variables de enunciado a partir de la tabla de verdad

Question

Necesito encontrar una fórmula para $F$ con variables de declaración $H, M$ y $B$ tal que la tabla de verdad de $F$ tiene el siguiente aspecto:

¿Alguien conoce una manera fácil y / o fresco para resolver los problemas de este tipo? Se agradecería mucho.

Gracias de antemano.

Answer 1

Disposición: Quieres que la primera línea sea verdadera cuando $H,M$ y $B$ son todos verdaderos. Así que su declaración $F$ debe parecer $(H\land M\land B)\lor \text{Something}$ .

Pero también quieres que sea verdad cuando $H,M$ son verdaderos y $B$ es falso, es decir, cuando $H, M$ y $\neg B$ es cierto. Así que, utilizando la información del párrafo anterior, $F$ debe parecer $(H\land M\land B)\lor (H\land M\land \neg B)\lor \text{Something else}$ .

Proceda de esta manera para encontrar $F$ .

Editar: En primer lugar, hay que tener en cuenta que sólo tenemos que aplicar esta técnica para las líneas verdaderas, ya que por exactamente señalando las líneas verdaderas, se determinarán las falsas.

Así que la inspección de las líneas verdaderas se puede encontrar: $$(H\land M\land B)\lor (H\land M\land \neg B)\lor (H\land \neg M\land B)\lor (\neg H\land M\land B),$$ que tiene la tabla de verdad esperada:

Answer 2

Desde $F$ es verdadera si y sólo si al menos dos de las tres variables $H$ , $M$ y $B$ son verdaderas, $$ F=(H\land M)\lor(M\land B)\lor(B\land H). $$

Answer 3

Esto se puede resolver a ojo y razonando.

Primero mira los valores reales en la columna F. Éstos son su objetivo. Entre las tres premisas, H es la que tiene más valores verdaderos en común, 4 frente a 3, así que empieza con una fórmula que sólo contenga $H$ . Eso le da 6 de los 8 valores correctos. Ahora sólo hay dos filas que arreglar.

Para la primera, la cuarta fila, F es falsa cuando M y B son falsas, por lo que F es verdadera cuando H es verdadera y M es verdadera o B es verdadera. Así que tenemos $H \wedge (M \vee B)$ que cubre las cuatro primeras filas.

Ahora necesitamos obtener ese último valor verdadero en la quinta fila. Podemos añadir una cláusula or a lo que tenemos hasta ahora. Es verdadero cuando M y B son ambos verdaderos, así que eso hace que $[H \wedge (M \vee B)] \vee (M \wedge B)$ y ya está.

Así es como lo hago yo, de todos modos. Espero que eso ayude.