consecuencia semántica en la lógica de primer orden

Question

Me piden que demuestre que Fx no implica semánticamente a AxFx. Sin embargo, en el párrafo anterior el autor me dice que Fx es verdadera en un modelo si AxFx es verdadera en ese modelo. Entonces, ¿cómo se supone que debo proporcionar un modelo en el que Fx sea verdadero y AxFx sea falso?

Aquí la definición de consecuencia semántica es de Lógica para la Filosofía de Ted Sider: PHI es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas bien formadas GAMMA si y sólo si para cada modelo M y cada asignación de variable g para M, si cada miembro de GAMMA es verdadero, entonces PHI es verdadero.

Answer 1

Depende de los detalles de las definiciones de "verdadero en un modelo" y "vinculación semántica".

En :

• Herbert Enderton, Introducción matemática a la lógica (2ª ed. - 2001), página 88, tenemos que :

DEFINICIÓN . Sea $\Gamma$ sea un conjunto de wffs, $\varphi$ a wff. Entonces $\Gamma$ implica lógicamente $\varphi$ , escrito $\Gamma \vDash \varphi$ si para cada estructura $\mathfrak A$ para el lenguaje y cada función $s : Var → |\mathfrak A|$ tal que $\mathfrak A$ satisface todos los miembros de $\Gamma$ con $s$ , $\mathfrak A$ también satisface $\varphi$ con $s$ .

Según esta definición, no es cierto en general que $\varphi(x) \vDash \forall x\, \varphi(x)$ .

Considera como $\varphi$ la fórmula de la aritmética de primer orden : $(x=0)$ . Está claro que con un $s$ tal que $s(x)=0$ :

$\mathbb N \vDash (x=0)[s]$ ;

pero claramente $\forall x\,(x=0)$ no se satisface con $s$ en $\mathbb N$ y, por lo tanto, :

$(x=0) \nvDash \forall x\,(x=0)$ .

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Como puede ver en :

• Theodore Sider, Lógica para la filosofía (2009), página 115

esto es lo mismo que :

Definición de consecuencia semántica : $\phi$ es una consecuencia PC-semántica del conjunto $\Gamma$ de wffs