Dejemos que $\mathbb{F}_2$ denotan el campo binario. Para los enteros $t\geq 0$ , defina $W_t = \{(x,y)\in \mathbb{F}_2^n\times \mathbb{F}_2^n: d_H(x,y)=t\}$ , donde $d_H(\cdot,\cdot)$ denota la distancia de Hamming.
Supongamos que $S,T\subseteq \mathbb{F}_2^n$ ( $n$ es grande) y considerar $S\times T$ . Tenga en cuenta que $|W_1| = 2^n n$ . Mi pregunta es, si sabemos que $(S\times T)\cap W_1$ es grande, digamos, $|(S\times T)\cap W_1| \geq 2^n n^{1-\epsilon}$ para alguna constante pequeña $\epsilon > 0$ ¿Qué podemos decir sobre $(S\times T)\cap W_t$ para otros $t$ ? Me gustaría tener un límite inferior en términos de $|(S\times T)\cap W_1|$ .
Es fácil ver que $(S\times T)\cap W_t$ podría ser el conjunto vacío cuando $t$ es par (ver una respuesta más abajo). Por lo tanto, supongamos que $t$ es impar.
En concreto, ¿tendremos $|(S\times T)\cap W_3|\gtrsim n^2|(S\times T)\cap W_1|$ o más débil, $|(S\times T)\cap W_3|\gtrsim n^{2-\eta}|(S\times T)\cap W_1|$ , donde $\eta$ es una constante que depende de $\epsilon$ ? Si esto sigue siendo imposible, ¿tendremos $|(S\times T)\cap W_3|\gtrsim n^{f(t,\epsilon)}|(S\times T)\cap W_3|$ para alguna función $f$ (que puede tomar un valor negativo)? Podría demostrar que $f(t,\epsilon)=-6$ o así funciona. Pero aparentemente es muy débil. ¿Alguna idea para un enlace más fuerte?
