Usos del holomorfo, Hol( $G$ ) = $G \rtimes $ Aut( $G$ )

Question

En todos los libros de texto de teoría de grupos que he leído, se ha definido el holomorfo, y quizá se han hecho algunos problemas con él. También he visto artículos que se centran en el cálculo de Hol( $G$ ) para una clase específica de $G$ .

Una cosa que nunca he visto es un uso real de la misma. ¿Existen resultados importantes que utilicen el holomorfo de un grupo? ¿Aparece en la demostración de algún teorema útil?

Me parece intrínsecamente interesante ya que permite tratar uniformemente los automorfismos de un grupo y los elementos de un grupo, y definitivamente me gustaría aprender más sobre ello.

Answer 1

Si G es abeliano, entonces el holomorfo de G es un grupo razonablemente bonito. Si G es un grupo abeliano elemental finito de orden p n , entonces se puede considerar que es un espacio vectorial sobre Z/pZ. El grupo de automorfismo es el grupo GL(n,p) de matrices n×n invertibles sobre Z/pZ. El holomorfo se llama grupo lineal general afín, AGL(n,p), que puede considerarse como matrices (n+1)×(n+1) [ A, v ; 0, 1 ] donde A en Aut(G) ≅ GL(n,p) y v en G ≅ (Z/pZ)^n. Si se restringe el grupo de automorfismo para incluir sólo los automorfismos de GF(p^k), donde k divide a n, entonces se obtiene un subgrupo AGL(n/k,p^k) que también es importante.

Este tipo de grupos son (uno de) los ejemplos estándar de grupos de permutación primitivos. Todo grupo de permutación primitivo soluble tiene algún subgrupo normal mínimo G que es abeliano elemental, y un subgrupo máximo M contenido en Aut(G) = GL(n,p) que actúa irreduciblemente sobre G, y el propio grupo es entonces el subgrupo obvio { [ A, v ; 0, 1 ] : A en M } de AGL(n,p). Los grupos primitivos insolubles pueden sustituir a G por uno o dos grupos simples no abelianos, pero una buena parte de la teoría sigue siendo válida.

Todos estos son ejemplos de la motivación original del holomorfo como normalizador en el grupo simétrico de la representación regular del grupo. Por ejemplo, un subgrupo Sylow p del grupo simétrico en p puntos es regular de orden p, y el normalizador Sylow es el holomorfo, AGL(1,p).

Los subgrupos normales regulares aparecen con frecuencia en los grupos de permutación y en la teoría de grupos computacional (normalmente como algo que debe evitarse debido a que se comportan de forma muy diferente), y sus normalizadores (también conocidos como el grupo entero, ya que el subgrupo es normal), están contenidos en el holomorfo.

Los grupos solubles primitivos, y en general, los subgrupos "irreducibles" de AGL(n,p), suelen ser ejemplos importantes de "frontera" (como en la frontera de una clase de Schunck) que no tienen una propiedad, pero tal que todo cociente la tiene. Se elige "M" para que tenga la propiedad, y entonces se toma "G" como un módulo M irreducible tal que M⋉G no tiene la propiedad. Me molesta llamar a M el grupo y a G el módulo, así que en la siguiente parte M será el módulo, y R el anillo:

Se puede construir algo parecido a una holomorfa a partir de cualquier módulo sobre un anillo. Se toman las matrices [ r, m ; 0, 1 ] donde r en R, m en M, y se obtiene otro anillo donde M el módulo se convierte en M el ideal; una extensión llamada trivial. Si en lugar de todo R, sólo se toman las unidades de R, GL(1,R), entonces se obtiene un bonito grupo. Por ejemplo, si tomamos R como los enteros p-ádicos extendidos por una raíz p de la unidad z (que no esté ya ahí), y M como R, entonces obtenemos un grupo pro-p muy importante de la coclase 1, G = { [ z^i, r ; 0, 1 ] : 0 ≤ i < p, r en R }. Para p=2, se trata de una versión pro-2 del grupo diédrico, y para todo p sus cocientes finitos son grupos p "principales" de clase máxima.

Cuando G no es abeliano, muchos de estos comentarios siguen siendo válidos, pero las formulaciones matriciales suelen ser menos esclarecedoras. En general, el holomorfo es un entorno muy agradable en el que trabajar con un grupo G y sus automorfismos, con un subgrupo normal regular G, con un grupo soluble primitivo o con varios otros ejemplos agradables.

Answer 2

Otro uso extensivo del holomorfo es en el estudio de módulos cruzados / 2-grupos (en el sentido de categorización). Cualquier grupo da lugar a un groupoide de un objeto. Cualquier grupoide $G$ produce un gadget de endomorfismo $G^G$ que es la categoría de funtores de $G$ a sí mismo. Esto es a la vez un groupoide y un monoide (bajo composición de funtores). Ahora mira los funtores que son isomorfismos. Eso nos da una categoría que también es un grupo. (¡Sí, lo digo en serio! Es el subgrupo de la estructura del monoide.) Eso lo convierte en un 2-grupo en ese sentido categorizado. Cualquier 2-grupo produce un módulo cruzado y el módulo cruzado aquí es sólo el homomorfismo del automorfismo interno $G\to Aut(G)$ . El grupo 2 es el holomorfo.

Esta construcción básica es fundamental para muchos tratamientos de la cohomología no abeliana (de grupos y de gavillas de grupos). Véanse los artículos de Larry Breen y, más recientemente, los de Aldrovandi y Noohi. (Se puede encontrar material sobre esto en el n-Lab y también en mis notas de Menagerie, una versión de las cuales está en mi página web del n-Lab). También es fundamental para los intentos de poner en práctica el programa Pursuing Stack de Grothendieck, ¡aunque eso también necesita muchas más aportaciones!

(Puedo dar referencias detalladas si son de interés).

Answer 3

El holomorfo se utiliza en la teoría de las estructuras de Galois de Hopf. Si L/K es una extensión de Galois con el grupo de Galois G, entonces las clases de isomorfismo de las álgebras de K-Hopf H tales que hay un isomorfismo de álgebra de L-Hopf $L \otimes H \to L[G]$ están en biyección con incrustaciones regulares de G en su holomorfo. Este es un caso especial de una afirmación más general para extensiones separables arbitrarias y anillos de grupo para otros grupos del mismo orden debida a Greither y Pareigis, con mejoras de Byott.

Answer 4

El holomorfo surge de forma natural en uno de mis trabajos. Véase la Proposición 2.2 en la versión arXiv de este trabajo: Una familia de espacios de incrustación . El resultado es que el espacio de incrustaciones de $S^j$ en $\mathbb R^n$ tiene el tipo de homotopía de un haz:

$$ SO_n \times_{SO_{n-j}} (C \rtimes K_{n,j})$$

Aquí $K_{n,j}$ es el espacio de incrustaciones de $\mathbb R^j$ en $\mathbb R^n$ que son una inclusión lineal fija fuera de una bola fija. $C \rtimes K_{n,j}$ es el haz de fibras sobre $K_{n,j}$ cuya fibra sobre un punto $f \in K_{n,j}$ es el complemento de la imagen de $f$ es decir $\mathbb R^n \setminus img(f)$ .

El caso $n=3, j=1$ es especialmente agradable ya que se sabe que los complementos de los nudos son $K(\pi,1)$ espacios y el espacio $K_{3,1}$ tiene componentes que son $K(\pi,1)$ espacios. Así que $C \rtimes K_{3,1}$ es la unión de espacios clasificatorios de holomorfos. Resulta que esas holomorfas son para los grupos fundamentales de complementos de nudos en $S^3$ . (técnicamente, no estás usando el grupo de automorfismo completo del grupo fundamental del complemento del nudo, sino el que fija la estructura periférica -- el meridiano y la longitud del nudo).

Así que en cierto sentido $C \rtimes K_{n,j}$ es un tipo de holomorfo de "nivel espacial". Es filosóficamente similar a la construcción de haces tautológicos sobre Grassmanianos.

Recuerdo que Maria Nogin (Voloshina) trabajó en grupos holomorfos en su disertación .

Eso es todo lo que tengo en la cabeza.