Polinomios invariantes bajo una acción de grupo (GIT oculto)

Question

Digamos que empiezo con el anillo de polinomios en $n$ variables $R = \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ (en el caso que nos ocupa tenía $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{Z}$ ). Ahora el grupo simétrico $\mathfrak{S}_n$ actúa por permutación sobre los indeterminados. El subring de polinomios invariantes $R^{\mathfrak{S}_n}$ tiene una bonita descripción (por generadores y relaciones) en términos de funciones simétricas.

¿Y si sólo considero la acción del grupo cíclico $Z_n$ ? ¿Alguien sabe si el anillo $R^{Z_n}$ ¿admite una buena presentación? (en el caso que nos ocupa tenía $\mathbb{C}[x_1,x_2,x_3]$ y la acción del grupo cíclico $Z_3$ . Tal vez en este caso podamos utilizar alguna fórmula (suponiendo que la haya) para los grupos que se dividen como productos semidirectos).

Answer 1

Repostando la maravillosa respuesta de VA (con una corrección trivial), ya que otra persona me acaba de hacer esta pregunta:

Esto es sólo para añadir un 1% a la respuesta completa de Dimitri del 99%. Cambia las coordenadas a $w_0,\dots, w_{n-1}$ definido por la fórmula

$$ w_i = x_0 + \mu^i x_1 + \mu^{2i} x_2 + \dots, $$

donde $\mu$ es una primitiva $n$ -raíz de la identidad. Entonces el anillo de invariantes es el subring de monomios

$$ w_0^{k_0}\dots w_{n-1}^{k_{n-1}} \quad \text{such that}\quad n \mid k_1 + 2k_2 + \dots + \left(n-1\right) k_{n-1}$$

y se puede obtener un conjunto de generadores tomando el mínimo de tales monomios (es decir, no divisibles por monomios más pequeños). Y relaciones entre estos generadores son de la forma (monomio en $w_i$ ) = (otro monomio en $w_i$ ). Esa es una presentación bastante fácil en cualquier caso.

P.D. Esto funciona sobre $\mathbb C$ o cualquier anillo que contenga $1/n$ y $\mu$ .

Nótese que el número de monomios mínimos (en el sentido descrito anteriormente) es Secuencia A096337 en la OEIS .

Un comentario de Victor Miller (ligeramente editado):

La construcción anterior funciona cuando el grupo, $G$ es cualquier grupo abeliano. La razón es que todas las representaciones irreducibles son $1$ -dimensional. Más concretamente, para todos los caracteres $\chi \in \widehat{G}$ , set $w_{\chi} = \sum_{g \in G} \chi(g) x_{i \cdot g}$ . Entonces $w_{\chi}^g = \chi(g) w_{\chi}$ . Entonces, como en el caso anterior, tome monomios en el $w_\chi$ eligiendo las potencias de manera que sean invariables.

Answer 2

Primero sobre $S_n$ : cuando actúa permutando la variable hay una bonita descripción de invariantes, ya que las transposiciones se representarán por reflexiones. El teorema de Chevalley establece que los invariantes serán un anillo polinómico en esos casos. Pero para otras representaciones no lo será. Así que incluso para grupos cíclicos que actúan permutando las variables, no será un anillo polinómico.

Un poco diferente a la pregunta, pero espero que sea relevante: En lugar de anillo de polinomios con coeficientes enteros que van a campo de funciones racionales con coeficientes racionales las preguntas han sido consideradas por Emmy Noether. Esto es relevante para el problema de Galois inverso.

R. Swan (1969) respondió que el campo de funciones racionales invariantes no será puramente trascendental para el grupo de permutación cíclica sobre 47 variables. HW Lenstra (1974) consideró toda la acción de permutación transitiva de los grupos abelianos sobre las variables y respondió cuándo sería puramente trascendental. A partir de su teorema el grupo cíclico de orden 8 no dará un campo invariante puramente trascendental.