Polinomios invariantes bajo una acción de grupo (GIT oculto)

Question

Digamos que empiezo con el anillo de polinomios en $n$ variables $R = \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ (en el caso que nos ocupa tenía $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{Z}$ ). Ahora el grupo simétrico $\mathfrak{S}_n$ actúa por permutación sobre los indeterminados. El subring de polinomios invariantes $R^{\mathfrak{S}_n}$ tiene una bonita descripción (por generadores y relaciones) en términos de funciones simétricas.

¿Y si sólo considero la acción del grupo cíclico $Z_n$ ? ¿Alguien sabe si el anillo $R^{Z_n}$ ¿admite una buena presentación? (en el caso que nos ocupa tenía $\mathbb{C}[x_1,x_2,x_3]$ y la acción del grupo cíclico $Z_3$ . Tal vez en este caso podamos utilizar alguna fórmula (suponiendo que la haya) para los grupos que se dividen como productos semidirectos).

Answer 1

Las acciones de $S_n$ y $\mathbb Z_n$ difieren en el sentido de que en el primer caso el cociente es suave (es de nuevo $\mathbb C^n$ ) mientras que en el segundo caso es singular. Por eso, en el primer caso tenemos una buena presentación, pero en el segundo no. Por ejemplo, el número de generadores del cociente no puede ser menor que la dimensión del espacio tangente de Zariski a la singularidad en cero de $\mathbb C^n/\mathbb Z_n$ .

Todavía en principio la presentación puede ser proporcionada por la geometría tórica ( https://dacox.people.amherst.edu/toric.html ) porque el cociente es la singularidad tórica. Por ejemplo, en su caso de $\mathbb C^3/\mathbb Z_3$ cambiemos las coordenadas para que $\mathbb Z_3$ está actuando como $w_0\to w_0$ , $w_1\to \mu w_1$ , $w_2\to \mu^2 w_2$ (aquí $\mu^3=1$ ). Entonces se puede escribir el conjunto mínimo de cuatro generadores:

$w_0, w_1^3, w_2^3, w_1w_2$ y una relación obvia $(w_1^3w_2^3)=(w_1w_2)^3$

El caso $\mathbb C^n/\mathbb Z_n$ para $n>3$ será más complicado, pero la idea es la misma a grandes rasgos. Primero se eligen las coordenadas en $\mathbb C^n$ $w para los que la acción es diagonal. A continuación se elige el conjunto mínimo de monomios (en estas nuevas coordenadas) que son invariantes bajo la acción, y se genera todo el conjunto de monomios invariantes (de grado positivo).

Consideremos un caso más $n=4$ y eligió las coordenadas $w_i$ para que $Z_4$ está actuando como $w_i\to \mu^iw_i$ , $\mu^4=1$ . El número de generadores es $7$ esta vez:

$w_0, w_1^4, w_3^4, w_2^2, w_1w_3, w_1^2w_2, w_3^2w_2$

Answer 2

Incluso sin conocer un conjunto explícito de generadores, se puede calcular la serie de Hilbert con muy poco trabajo como sigue. En general, supongamos un grupo finito $G$ actúa sobre un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ de característica no divisible por $|G|$ a través de un mapa de acción $\rho : G \to \text{GL}(V)$ . Entonces $G$ actúa sobre el álgebra simétrica $S(V^{\ast})$ (una descripción independiente de las coordenadas de las funciones polinómicas en $V$ ), y el anillo de funciones sobre el cociente $V/G$ es la subálgebra invariante

$$S(V^{\ast})^G \cong \bigoplus_{n \ge 0} S^n(V^{\ast})^G.$$

La serie de Hilbert de esta subálgebra puede calcularse mediante La fórmula de Molien , lo que da

$$\sum_{n \ge 0} t^n \dim S^n(V^{\ast})^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{1}{\det (1 - t \rho(g))}.$$

En particular, la serie de Hilbert es invariante bajo la extensión de escalares (por lo que, por ejemplo, la respuesta no depende de si tomamos $k = \mathbb{Q}$ ou $k = \mathbb{C}$ ), lo cual no es del todo evidente.

En este caso $G = \mathbb{Z}_n$ y $V$ es la representación regular. Si un elemento $g \in G$ tiene orden $d \mid n$ su acción en la representación regular consiste en $\frac{n}{d}$ ciclos de longitud $d$ por lo que el determinante anterior es $(1 - t^d)^{n/d}$ . En conjunto se obtiene la serie de Hilbert

$$\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \frac{\varphi(d)}{(1 - t^d)^{n/d}}.$$

Answer 3

Por la teoría general de invariantes de grupos finitos, existe $p=(n-1)!$ polinomios homogéneos $u_1, \dots, u_p$ (que pueden elegirse como monomios) tal que cada elemento $f$ de $R^{Z_n}$ se puede escribir de forma única $f = u_1 g_1 + \cdots+ u_p g_p$ , donde $g_1,\dots,g_p$ son funciones simétricas. No sé si una descripción explícita de $u_1,\dots,u_p$ es conocido por la arbitrariedad $n$ .

Una referencia es http://math.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/38.pdf .

Answer 4

Le recomiendo que lea el segundo capítulo de este libro https://www.springer.com/gp/book/9783211774168 titulado Algoritmos en la teoría de invariantes. En particular, muestra que se pueden utilizar las bases de Groebner para calcular los generadores del anillo de invariantes bajo la acción de un grupo finito.

Answer 5

El número mínimo de invariantes necesario para generar ${\mathbb Z}[x_1,...,x_n]^{{\mathbb Z}_n}$ ha sido considerada por varios autores, entre ellos Erdos, Dixmier y Kac. (véase las referencias en [John C. Harris y David L. Wehlau Congruencias lineales de números enteros no negativos Indagationes Mathematicae 17 No. 1 (2006) 37-44]. Se ve fácilmente que está acotado por debajo del número de particiones de n, ${\mathcal P}(n)$ . Dixmier produjo una serie de trabajos que dan el comportamiento asintótico de este número en función de $n$ . Los resultados del documento Harris-Wehlau anterior se completan utilizando el resultado principal de [Pingzhi Yuan, Sobre el índice de secuencias mínimas de suma cero sobre grupos cíclicos finitos Journal of Combinatorial Theory, Series A 114 (2007) 1545-1551]. Estos dos trabajos se combinan para mostrar que el número de generadores homogéneos de este anillo de invariantes de grado $k$ es exactamente $\phi(n){\mathcal P}(n-k)$ si $k \geq \lfloor n/2\rfloor + 2$ (aquí $\phi$ es la función totiente de Euler). Sorprendentemente (al menos para mí) se sabe mucho menos sobre el número de generadores en grados inferiores.