Mostrando $\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2:xy=1 \rbrace$ está cerrado

Question

Dejemos que $K=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2:xy=1 \rbrace \subseteq \mathbb{R}^2$ . Demostrar que $K$ está cerrado.

Estoy siguiendo el libro de topología de Munkres, y este es un paso para terminar el problema 3 de la p. 145. Estoy haciendo un curso de lectura, y mi instructor me dio una pista sobre la demostración de que el mapa de proyección no es un mapa cerrado, lo que me llevó a este conjunto.

Si sé que la función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(x,y)=xy$ es continua, entonces he terminado, pero demostrar que $f$ es continua parece más problemática de lo necesario, por lo que espero hacerlo con un enfoque más elemental.

Por supuesto que podría hacerlo por definición, pero $K^c$ no parece especialmente fácil demostrar la apertura. Los puntos límite parecen igualmente molestos para trabajar con este conjunto, al menos para mí. Ni siquiera estoy seguro de qué puntos límite de $K$ se vería así.

He leído esta pregunta: Demostrar que un conjunto está cerrado en $\mathbb R^2$

Pero la mayoría de las soluciones, incluida la que da el autor de la pregunta, utilizan algunos resultados de análisis que me temo que no puedo utilizar.

De todos modos, me gustaría saber cuál de las formas "estándar" de demostrar la cerrazón te parece adecuada, y un empujón en la dirección correcta. Por favor, ¡no soluciones completas!

Answer 1

Dejemos que $\{(x_n,y_n)\}$ sea una secuencia en $K$ con un límite $(x,y)\in\mathbb R^2$ . Entonces $x_ny_n=1$ para todos $n$ Así que $xy=1$ . Por lo tanto, $(x,y)\in K$ y $K$ está cerrado.

Al punto de @user46944, que $X$ sea un espacio topológico y $A\subset X$ . Supongamos que $A$ contiene todos sus puntos límite. Entonces, si $x\in A^c$ existe una vecindad $U$ de $x$ que no se cruza con $A$ . De ello se desprende que $A$ está cerrado. A la inversa, supongamos que $A$ está cerrado. Sea $x$ sea un punto límite de $A$ . Supongamos que $x\in A^c$ , entonces como $A^c$ es abierto, existe una vecindad $U$ de $x$ que no se cruza con $A$ . Esto contradice la suposición de que $x$ es un punto límite de $A$ .

Answer 2

La función $f: \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \to \mathbb R$ definido como $f(x,y) = xy$ es continua porque las proyecciones $$\begin{align}\pi_1 : R^2 \times \mathbb R^2 &\to \mathbb R \\(x,y) &\mapsto x\end{align} $$

y $$\begin{align}\pi_2 : R^2 \times \mathbb R^2 &\to \mathbb R \\(x,y) &\mapsto y\end{align}$$

son continuos. Este hecho se demuestra fácilmente observando que ambos son Lipschitz,

$$\|\pi_1 (x,y) - \pi_1(x',y') \| = \|x - x'\| \leq \|(x,y) - (x,y)\|$$

válido para cualquier norma tomada en $\mathbb R^2$ . Y el producto de dos funciones continuas es continuo.

Como $K$ es la preimagen de $\{1\} \subset \mathbb R$ por $f$ el resultado es el siguiente.

Answer 3

Si tuviera que probarlo, estos son los pasos que daría (si te decides a probarlos y tienes algún problema, coméntalo y házmelo saber):

Paso 1 . En primer lugar, mostrar si $f: \Bbb R \to \Bbb R$ es continua, entonces su gráfica (es decir, el conjunto $K = \{ (x, f(x)) \mid x \in \Bbb R \}$ ) es un subconjunto cerrado de $\Bbb R^{2}$ ( insinuación: Utilice el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad para mostrar el complemento de $K$ está abierto).

Paso 2 . A continuación, observe que el $K$ descrito en su pregunta no es más que $K = \{ (x, \dfrac{1}{x}) \mid x \in \Bbb R - \{ 0 \} \}$ . Sabemos que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ es continua en su dominio $\Bbb R - \{0 \}$ por lo que, según el primer argumento que has dado, su gráfico está cerrado como subconjunto de $\Bbb R^{2}$ .

Answer 4

He aquí una idea de prueba que se basa un poco más en el cálculo. Deberías ser capaz de imaginar la función $y = \frac{1}{x}$ en tu mente, que puede ayudarte a imaginar lo que diré en el resto de esta respuesta. Ahora dejemos que $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ sea un punto arbitrario del plano tal que $ab \neq 1$ . Podemos considerar la distancia más corta desde $(a,b)$ a un punto de la curva $y = \frac{1}{x}$ . Esta distancia se determinará trazando una línea desde $(a,b)$ que es perpendicular a $y$ (se puede utilizar la derivada de $y$ para ayudar a resolver esta línea perpendicular y la longitud de la misma). Puedes obtener dos líneas que se proyectan fuera de $(a,b)$ y golpeando $y$ en un ángulo perpendicular. Basta con tomar el mínimo de estas dos distancias (digamos $d$ ), reduzca esa distancia a la mitad y establezca $\frac{1}{2}d = \varepsilon$ . Ahora ya conoces el balón abierto $$B_\varepsilon((a,b)) = \{(c,d)\in \mathbb{R}^2: (a-c)^2+(b-d)^2<\varepsilon\}$$ es un conjunto abierto que contiene $(a,b)$ y, por construcción, no se cruzará con $y$ . Desde $(a,b)$ era arbitraria, sabemos que cualquier coordenada de este tipo en $\mathbb{R}^2$ donde $ab \neq 1$ puede separarse de $y$ con un conjunto abierto, y por tanto no puede ser un punto límite de $y$ . Entonces no hay puntos límite de $K$ no contenida en $K$ es decir, si $K$ tiene un punto límite, está contenido en $K$ .