El mapa $A\mapsto A^{-1}$ es $C^{\infty}$ ?

Question

El teorema de la función inversa establece que para una función continuamente diferenciable $f:\Bbb R^n \to \Bbb R^n$ con jacobiano no evanescente es un homeomorfismo alrededor de una pequeña vecindad, y que $$(f^{-1})'(y)=[f'(f^{-1}(y))]^{-1}.$$ He visto una afirmación más fuerte que si $f$ es $C^{\infty}$ entonces $f^{-1}$ también es uno (es decir $f$ es un difeomorfismo en esa pequeña vecindad). He observado que tenemos la relación $$(f^{-1})' = \Bbb I \circ f' \circ f^{-1}$$ donde $\Bbb I:GL(\Bbb R^n)\to GL(\Bbb R^n)$ es el mapeo $A\mapsto A^{-1}$ . Por la regla de la cadena y la inducción, parece que sólo tenemos que demostrar que $\Bbb I$ es $C^{\infty}$ . Mis preguntas son:

1. Cómo es la regla de la cadena para la composición con función de clase $GL(\Bbb R^n)\to GL(\Bbb R^n)$ ? ¿Es el mismo que el habitual $f:\Bbb R^n\to\Bbb R^m$ y $g:\Bbb R^m\to\Bbb R^k$ ?

2. ¿Cómo se puede demostrar que $\Bbb I$ es $C^{\infty}$ ?

Answer 1

1. La regla de la cadena funciona igual en este contexto.
2. Esta función es una función racional, y por lo tanto una $C^\infty$ función. Esto es así porque $A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}(A)$ , donde $\operatorname{adj}(A)$ es el matriz adjunta de $A$ .