Encuentre los valores de $\alpha $ que satisface la ecuación(determinante)

Question

Encuentre los valores de $\alpha $ que satisface la ecuación $$\begin{vmatrix} (1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2\\ (2+\alpha)^2& (2+2\alpha)^2 & (2+3\alpha)^2\\ (3+\alpha)^2& (3+2\alpha)^2 & (3+3\alpha)^2 \end{vmatrix}=-648\alpha $$

Utilicé $$R_3 \rightarrow R_3- R_2 \qquad R_2 \rightarrow R_2- R_1$$ $$\begin{vmatrix} (1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2\\ 3+2\alpha& 3+4\alpha & 3+6\alpha\\ 5+2\alpha& 5+4\alpha & 5+6\alpha \end{vmatrix}$$ Entonces $$R_3 \rightarrow R_3- R_2$$ $$\begin{vmatrix} (1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2\\ 3+2\alpha& 3+4\alpha & 3+6\alpha\\ 2& 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Ahora aplicando la columna hará cero pero la pregunta se hará demasiado larga . Esta es una pregunta de concurso y no debería ser tan larga.

Answer 1

Sugerencia escríbalo como un producto de dos determinantes después de tomar $\alpha,\alpha^2$ común de uno de los determinantes para obtener $\alpha=\pm 9$ o para continuar con su método utilice $R_1\to R_1-R_2$