¿Cómo puedo aislar correctamente las variables para esta ecuación diferencial?

Question

Estoy intentando resolver un problema que implica esta ecuación diferencial:

$$\frac{dy}{dx} = x^2y^2 + x^2 - y^2 - 1$$

Como se trata de una ecuación diferencial separable, tiendo a dividir la ecuación entre las variables $x$ y $y$ e integrar ambos sitios; pero parece que no puedo separarlos, debido a la $x^2y^2$ .

$$\frac{dy}{dx} + y^2 = x^2y^2 + x^2 - 1$$ $$ dy + y^2 = x^2y^2\space dx + x^2\space dx - dx$$

Ahora el único $y$ variable que queda para llegar al lado opuesto es el $y^2$ que está atrapado en $x^2y^2$ , pero extrayendo $y^2$ dejaría un $y^2$ variable en todos los demás términos. Ese es el problema.

$$\frac{dy + y^2}{y^2} = x^2 dx + \frac{x^2}{y^2} dx - \frac{dx}{y^2}$$ $$\frac{dy}{y^2} + 1 = x^2 dx + \frac{x^2}{y^2} dx - \frac{dx}{y^2}$$

Y ahora, si quiero el $y$ variables del lado izquierdo, termino con la ecuación anterior.

$$ dy + y^2 = x^2y^2\space dx + x^2\space dx - dx$$

Es un bucle muy malo en el que estoy ahora mismo. ¿Cómo puedo evitar este problema, y llevar cada variable a su lado separado para la integración?

Answer 1

Se puede factorizar el lado derecho como $(y^2+1)(x^2-1)$

Answer 2

He aquí una forma sistemática: suponiendo su lado derecho, llámelo $f(x,y) = x^2y^2 + x^2 - y^2 - 1$ , en realidad es separable como $f(x,y) = X(x)Y(y)$ entonces esto funcionará para cualquier $x_0$ y $y_0$ . Así que elegir arbitrariamente $(x_0,y_0) = (0,0)$ para simplificar, tenemos

$$X(x) \propto \frac{X(x)Y(y_0)}{X(x_0)Y(y_0)} = \frac{f(x,y_0)}{f(x_0,y_0)} = \frac{x^2 - 1}{-1} = 1-x^2.$$

Ahora con* $X(x)=1-x^2$ obtenemos el otro factor

$$Y(y) \propto X(x_0)Y(y) = f(x_0,y) = -y^2 - 1$$

y he aquí, $X(x) = 1-x^2$ y* $Y(y) = -y^2 - 1$ dar $f(x,y)$ .

*En la toma $X(x) = 1-x^2$ he tirado la constante de la proporcionalidad $1/X(x_0)$ y al tomar $Y(y) = -y^2 - 1$ , he tirado $X(x_0)$ . Pero no pasa nada, ya que se habrían anulado de todos modos. Descubrí este atajo después de cansarme de adivinar este tipo de problemas.