¿Alguna aclaración sobre la definición de las EDOs lineales de este libro de texto?

Question

El libro de texto que estoy leyendo (Zill's "A First Course in Differential Equations with Modeling Applications) describe la clasificación de las EDOs como lineales o no lineales con la siguiente afirmación:

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n-ésimo $$F(x,y,y',...,y^n) = 0$$ se dice que es lineal si F es lineal en $$y,y',...,y^n$$

Esto significa que una EDO de orden n es lineal cuando es $$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y - g(x) = 0$$

Entiendo que la definición intuitiva de linealidad es que una EDO es lineal si:

1) el mayor grado de la variable dependiente (y) y de todas sus derivadas es 1
2) el coeficiente de la variable dependiente y sus derivadas es una constante, o algún término con la variable independiente (x) como máximo
3) la variable dependiente y sus derivadas no están dentro de otras funciones como sin(y)

Sin embargo, la definición general matemática me resulta casi incomprensible. No entiendo qué significa la palabra "en" cuando el autor dice que la función F es "lineal en" seguida de y y sus derivadas separadas por comas. Y no dice qué significa g(x), qué significa la colección de funciones a(x), etc.

Answer 1

Es como en el álgebra lineal.

Nosotros decimos $F$ es un operador diferencial lineal (no te preocupes por la palabra elegante) si es lineal en cada derivada. \begin{multline} F(x,y^{(0)},\ldots, a_j y^{(j)} + b_j z^{(j)},\ldots,y^{(n)}) = \\ a_j F(x,y^{(0)},\ldots, y^{(j)},\ldots, y^{(n)}) + b_j F(x,y^{(0)},\ldots, z^{(j)},\ldots, y^{(n)}) \end{multline} para todos $j = 1,\ldots,n$ .

Si $F$ implica, digamos, $\sin(y)$ entonces no es lineal, porque $\sin(a y + b z) \neq a \sin(y) + b \sin(z)$ .

Por supuesto, todo $y$ deben ser funciones del mismo argumento; si no, entonces no es una ecuación diferencial.

La función $g(x)$ es una función que depende exclusivamente en $x$ y no en $y$ o cualquiera de sus derivados.

En el ejemplo dado, $$ F(x,z_0,z_1,\ldots,z_n) = -g(x) + a_0(x) z_0 + a_1(x) z_1+ \ldots a_n(x) z_n. $$