Tratando de entender la definición de una propiedad universal

Question

Aquí es la definición de propiedad universal en Wikipedia:

(donde $U:D\to C$ es un functor y $X$ es un objeto en $C$ )

A morfismo terminal de $U$ a $X$ es un objeto final de la categoría $(U\downarrow X)$ de morfismos de $U$ a $X$ es decir, consiste en un par $(A,\Phi)$ donde $A$ es un objeto de $D$ y $\Phi: U(A) \to X$ es un morfismo en $C$ , como por ejemplo que la siguiente propiedad de la terminal se satisface:

• Siempre que $Y$ es un objeto de $D$ y $f: U(Y) \to X$ es un morfismo en $C$ , entonces existe un morfismo único $g: Y \to A$ de manera que diagrama conmuta:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Así que estoy tratando de "desempaquetar" esta definición y averiguar qué "significa" cada una de las cosas aquí. Por ejemplo, en qué se convierte en el caso de un límite, o algo así.

• Un límite es un ejemplo de morfismo terminal, ¿no? ¿Y un colímite un morfismo inicial?
• Hace $U$ ¿suele representar un diagrama? En el caso de un límite, ¿representa el diagrama del que queremos tomar el límite?
• Lo que sea $X$ ? Sinceramente, no tengo ni idea. ¿Cuál es el análogo en el caso de un límite?
• ¿Qué hace un morfismo de $U\to X$ ¿Incluso significa? ¿Qué significa en el caso de un límite? He visto morfismos de un diagrama a un objeto en co límites.
• En el caso de un límite, es $(U\downarrow X)$ ¿la categoría de conos? Pero ¿cómo puede ser cada cono un morfismo de $U$ a algo (pensé que era un morfismo de algo a $U$ )?
• $A$ (o $U(A)$ ) corresponde a la cosa real que construimos, como la fuente de un límite o el objetivo de un colímite? Pero, ¿qué es $\Phi$ ? En la construcción de un límite, hay un morfismo del límite al diagrama, esto parece incorrecto.

Mi opinión es que $X$ representa una especie de "subconjunto" de los candidatos al objeto para no tener que cuantificar sobre todo como se hace con los conos y el límite. ¿Es eso cierto?

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Editar: Así que, en resumen, resulta que $X$ representa (en el caso de los límites y colímites) el diagrama del que intentamos tomar el límite, mientras que $A$ representa el objeto límite real (con su morfismo $\Phi$ ). $U$ es el functor diagonal, porque el límite se construye aquí como un objeto en la categoría de diagramas de forma como máximo la de $X$ .

Answer 1

En primer lugar, esa definición de la wikipedia no es genial. Sin embargo, deberías volver a ella una vez que te hayas hecho a la idea de todo esto.

Cuando uno se encuentra por primera vez con la definición de una construcción universal, es un poco extraño. La verdadera forma de entender este concepto es con ejemplos: basta con seguir viendo ejemplos hasta que tenga sentido.

Empecemos con un ejemplo sencillo. Dejemos que $X, Y$ sean conjuntos. Entonces (una forma posible) puedo definir la unión disjunta es $$ X \amalg Y = \{(x, 0), (y, 1) \mid x \in X, y \in Y \} $$ y podemos definir morfismos de inyección $$i_X: X \to X \amalg Y \qquad i_X(x) = (x, 0)\\ i_Y: Y \to X \amalg Y \qquad i_Y(y) = (y, 1) $$ Ahora supongamos que tengo una función $f: X \to Z$ y $g: Y \to Z$ . Entonces puedo construir un único (esto es realmente clave aquí) mapa $h: X \amalg Y \to Z$ donde $$ h(x, 0) = f(x) \text{ and } h(y, 1) = g(y) $$ ¿Por qué es único? Porque la definición depende directamente de $f$ y $g$ . Así que lo que realmente me da es este diagrama

Dadas las flechas $f:X \to Z, g: Y \to Z$ podemos obtener una flecha única $h: X \amalg Y \to Z$ . La existencia forzada de $h$ se indica con la flecha discontinua.

Este es un ejemplo de construcción universal. En realidad, este es un ejemplo de un colímite, que voy a explicar. Esto sucede en tantos lugares en las matemáticas que hay un nombre para ello, y eso es lo que este asunto de la flecha universal se trata.

Supongamos que $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son categorías con un functor $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ . Un morfismo universal de un objeto $D$ al functor $F$ es un par $(C, u: D \to F(C))$ tal que, para cualquier $f: D \to F(C')$ el siguiente diagrama es válido.

Así que si tienes un morfismo $f: D \to F(C')$ se obtiene automáticamente un morfismo $h: C \to C'$ .

Un colímite es un ejemplo de esta construcción. Para entenderlo, primero hay que entender el functor diagonal $$ \Delta: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^J. $$ Aquí, $\mathcal{C}^J$ es la categoría de funtores de los funtores $F: J \to C$ con morfismos como transformaciones naturales. Este functor $\Delta$ toma cada objeto $C$ a la functor $F_C: J \to C$ donde para cada $j \in J$ $$ F(j) = C. $$ Así que lo envía a un functor de valor constante.

Ahora bien, cuando hablamos de un "colímite" en una categoría $\mathcal{C}$ es con respecto a algún functor $F: J \to C$ . Se trata de un elemento de la categoría de funtores $\mathcal{C}^J$ . Así, definimos un colímite como un morfismo universal de $F$ a $\Delta$ . Es decir, $$ (\text{Colim }F, u: F \to \Delta(\text{Colim} F). $$ Tenga en cuenta que $u$ es la transformación natural; como he dicho antes $\Delta$ envía objetos a los funtores. Así, se obtiene el diagrama

Sin embargo, esto no es muy intuitivo. Una mejor manera de ver esto es darse cuenta de que si usted tiene una transformación natural $u: F \to \Delta(\text{Colim } F)$ , entonces usted tiene un familia de morfismos . ¿Cómo? Para cada objeto $i \in J$ nuestra transformación natural debería darnos un morfismo $$ u_i: F(i) \to \Delta(\text{Colim } F)(i). $$ Pero $\Delta(\text{Colim } F)$ es un functor de valor constante. Así que esto se convierte realmente en una familia de morfismos $$ u_i: F(i) \to \text{Colim }F. $$ Así es como se suelen definir los colimits, pero ya que has preguntado cómo se relacionan con las construcciones universales, es así. De todos modos, una forma de imaginar el diagrama anterior es imaginarse el de abajo. Esto no es exactamente preciso, pero es una buena manera de imaginar el colímite.

Compara este diagrama con el del principio con el coproducto. Si entiendes eso, entonces puedes entender el concepto de límites porque los límites son exactamente la misma historia, sólo que con las flechas invertidas.