Cómo ver el espacio de fases de un sistema físico como el haz de cotangentes

Question

Dos cosas han motivado hoy esta pregunta.

Primero, el profesor dijo que en una conferencia Thurston mencionó

Cualquier colector puede verse como el espacio de configuración de algún sistema físico.

Está claro que hay que tener cuidado aquí, así que la primera pregunta es

1) Que es una formulación precisa y un argumento para ver por qué la afirmación anterior es cierta.

En segundo lugar, el profesor continuó diciendo que, debido al corchete de Poisson, vemos el espacio de fase de un sistema físico como el haz de cotangentes de una variedad. Entiendo que asociamos una forma simpléctica al haz cotangente, y que queremos pensar en el espacio de fase con una estructura simpléctica, pero mi segunda pregunta es

2) ¿Podría proporcionar un ejemplo de un sistema físico, dar el "colector de configuración" asociado mostrar el espacio cotangente, y explicar por qué este es el espacio de fase del sistema.

Presioné bastante al profesor para conseguir este nivel de detalle, por lo que presionar mucho más probablemente habría sido considerado grosero. También debo mencionar que habla de estas cosas porque queremos cuantificar la geometría asociada a este colector. Así que mira el espacio cotangente, que aparentemente tiene una estructura simpléctica, y envía la forma simpléctica al soporte de Lie. Si alguna de las cosas que he dicho es incorrecta, por favor, comenten con correcciones. Sólo estoy aprendiendo este material y tratando de entender cómo encaja con mi comprensión actual.

Una última pregunta extra (tee hee),

Si su colector es un Grupo de Lie, obtenemos una estructura de álgebra de Lie en el Espacio Tangente. ¿Existe alguna relación entre esta estructura de álgebra de Lie y la que se obtendría considerando el espacio cotangente y luego cuantificando de la forma anterior?

Gracias de antemano.

Answer 1

Empecemos por responder a la primera pregunta.

Dejemos que $M$ sea cualquier colector. Consideremos un sistema físico que consiste en una partícula puntual que se mueve en $M$ . ¿Cuáles son las configuraciones de este sistema físico? Los puntos de $M$ . Por lo tanto, $M$ es el espacio de configuración.

Normalmente se toma $M$ para ser riemanniana y podemos añadir una función potencial sobre $M$ para definir la dinámica. (Ciertamente, es posible una dinámica más complicada; éste es sólo el ejemplo más sencillo).

Como ejemplo, consideremos una partícula puntual de masa $m$ entrando en la casa $\mathbb{R}^3$ bajo la influencia de un potencial central $$V= k/r,$$ donde $r$ es la distancia al origen. El espacio de configuración es $M = \mathbb{R}^3\setminus\lbrace 0\rbrace$ .

Las trayectorias clásicas son curvas $x(t)$ en $M$ que satisfacen la ecuación de Newton $$m \frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{k}{|x|^2}.$$ Para escribir esta ecuación como una ecuación de primer orden introducimos la velocidad $v(t) = \frac{dx}{dt}$ . Geométricamente $v$ es un campo vectorial (una sección del haz tangente $TM$ ) y, por tanto, la trayectoria clásica $(x(t),v(t))$ define una curva en $TM$ que satisface una EDO de primer orden: $$\frac{d}{dt}(x(t),v(t)) = (v(t), \frac{k}{m|x(t)|^2})$$ Esta ecuación puede derivarse de un problema variacional asociado a una función lagrangiana $L: TM \to \mathbb{R}$ dado por $$L(x,v) = \frac12 m v^2 - \frac{k}{|x|}.$$ La derivada de la fibra de la función lagrangiana define un morfismo de haz $TM \to T^*M$ : $$(x,v) \mapsto (x,p)$$ donde $$p(x,v) = \frac{\partial L}{\partial v}.$$

En este ejemplo, $p = mv$ . La transformada de Legendre de la función lagrangiana $L$ da una función hamiltoniana $H$ en $T^*M$ que en este ejemplo es la energía total del sistema: $$H(x,p) = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{k}{|x|}.$$

Las ecuaciones de movimiento pueden recuperarse como el flujo a lo largo del campo vectorial hamiltoniano asociado a $H$ a través de los corchetes de Poisson estándar en $T^*M$ :

$$ \frac{dx}{dt} = \lbrace x,H \rbrace \qquad\mathrm{and}\qquad \frac{dp}{dt} = \lbrace p,H \rbrace.$$

Al ser curvas integrales de un campo vectorial, existe una única trayectoria clásica que pasa por cualquier punto dado en $T^*M$ Por lo tanto $T^*M$ es un espacio de fases para el sistema; es decir, un espacio de estados del sistema físico. Por supuesto $TM$ es también un espacio de estados, pero históricamente se llama $T^*M$ el espacio de fase del sistema con el espacio de configuración $M$ . (No conozco la historia lo suficientemente bien como para saber por qué. Hay paréntesis en $TM$ también y se podría trabajar igualmente allí).

No todo espacio de estados es un haz cotangente, por supuesto. Se pueden obtener ejemplos por reducción hamiltoniana a partir de haces cotangentes mediante simetrías inducidas por difeomorfismos del espacio de configuración, por ejemplo. O se pueden considerar sistemas cuyas trayectorias físicas satisfacen una EDO de orden superior a 2, en cuyo caso el haz cotangente no es el espacio de estados, ya que se necesita conocer algo más que la posición y la velocidad en un punto para determinar la trayectoria física.

Es tarde, así que no responderé a la pregunta extra por ahora.

Answer 2

Esto es sólo para añadir a lo que los carteles anteriores han dicho mucho mejor. Es un "hecho" maravilloso que, sea cual sea el colector que elijas, siempre habrá algún sistema mecánico que pueda codificarse como flujo geodésico en este espacio (relativo a alguna métrica). He aquí algunos ejemplos:

1. $SO(3)$ La dinámica del cuerpo rígido. Los elementos de $SO(3)$ son matrices de rotación que determinan la orientación del cuerpo rígido.

2. $\mathrm{Diff}_{vol}(M)$ el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen de una variedad $M$ La dinámica de los fluidos incompresibles. Un dife $\varphi: M \to M$ te dice lo siguiente: una partícula de fluido inicialmente en $X \in M$ termina en $x = \varphi(X)$ .

3. $\mathrm{Diff}(S^1)$ , diffeos ordinarios en el círculo: el flujo geodésico no es más que la ecuación de Burgers.

4. $\mathrm{Diff}(S^1) \times \mathbb{R}$ El grupo de Bott-Virasoro (en el que la multiplicación se define mediante el cociclo de Bott-Virasoro). El flujo geodésico nos da aquí la ecuación de Korteweg-de Vries, que es la ecuación de Burgers con una no linealidad. La no linealidad en la ecuación proviene directamente del cociclo de BV.

En cualquier caso, la cuestión es que se puede pasar un buen rato simplemente escribiendo una variedad con una métrica riemanniana y escribiendo las ecuaciones geodésicas. La mayoría de las veces, el sistema resultante estará por ahí en forma de alguna famosa ecuación diferencial, y de esta manera, a menudo se puede relacionar la geometría del espacio de configuración con las propiedades de la ecuación.

Answer 3

Bueno, no voy a decir nada profundamente nuevo aquí - sólo un resumen (espero que correcto).
Supongamos que te dan tu colector favorito, digamos $Q.$ Entonces su haz cotangente $M=T^* Q$ viene equipado con alguna estructura canónica (Tengan en cuenta que el haz cotangente $T^* Q$ y el haz tangente $TQ$ son isomorfos como haces vectoriales sobre $Q$ (en particular sus espacios totales son difeomorfos, pero no canónicamente), pero por alguna razón milagrosa el haz cotangente tiene "más" estructura). Denotemos por $\pi:T^* Q\rightarrow Q$ la proyección, asociando a un covector su punto base. Diferenciando esto se obtiene el mapa tangente de $\pi$ , $T\pi: T(T^* Q)\rightarrow TQ$ . Con su ayuda se puede definir una forma única $\theta$ en $T^* Q$ (normalmente llamada "canónica" o forma única de Liouville). Se define a través de
$\theta_\alpha:T_\alpha (T^* Q)\rightarrow \mathbb{R},$ $v\mapsto \alpha(d\pi(\alpha).v)$
para cualquier punto $\alpha\in T^* Q$ . Para explicar por qué la definición tiene sentido: $v$ es un elemento arbitrario de $T_\alpha (T^* Q)$ el diferencial de $\pi$ en $\alpha,$ $d\pi(\alpha)$ es un mapa lineal desde $T_\alpha (T^* Q)$ a $T_{\pi(\alpha)} Q$ . Además $\alpha$ puede interpretarse como una forma lineal en el espacio tangente de su punto base; en consecuencia, tiene sentido evaluarla en $d\pi(\alpha).v$ .
Ahora la forma simpléctica $\omega\in \Omega^2(T^*Q)$ se define como el diferencial exterior de $\theta$ (algunos autores prefieren colar un signo menos). Nota: $\omega$ se define de forma puramente intrínseca (sin elección de coordenadas, por ejemplo, aunque a menudo se ven expresiones como $\theta=p_idq^i$ ).
Esa es la razón por la que se puede asociar una variedad simpléctica (también conocida como espacio de fase) a cualquier variedad (también conocida como espacio de configuración). Pero para ampliar lo que ya dijo José Figueroa-O'Farrill: hay variedades simplécticas que no son de la forma $T^* Q$ para algunos $Q$ . Probablemente el ejemplo más fácil son las variedades simplécticas cerradas, es decir, compactas y sin límites (se dan, por ejemplo, como superficies con una forma de volumen fija o como variedades proyectivas complejas no singulares junto con la forma de Fubini-Study). Se puede demostrar fácilmente que su forma simpléctica no puede ser exacta (es decir, de la forma $d\theta$ para alguna forma única $\theta$ ) a menos que sean de dimensión cero. Porque si fuera exacta, por el teorema de Stokes la integral $\int \omega^{\wedge (dim M/2)}$ tendría que ser cero. Y es difícil encontrar colectores con volumen total cero.

Para responder a la segunda pregunta: la estructura del álgebra de Lie en $\mathfrak{g}=Lie(G)$ induce una estructura de Poisson en su dual $\mathfrak{g}^*,$ como se explica, por ejemplo, en http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_manifold#Example .

Answer 4

No tengo la rep para poner esto en un comentario donde corresponde, pero quería señalar que la TM tiene una estructura canónica análoga a la forma 1 canónica de T*M: el "Lagrangian" o campo vectorial vertical. En lugar de escribir una fórmula, déjame explicarlo intuitivamente. Cualquier espacio vectorial V cuando se ve como una variedad es naturalmente isomorfo al espacio tangente TV(v) en cualquier punto v. Por lo tanto, podemos tomar el espacio tangente (¡vertical!) en cualquier punto de la fibra de TM sobre x, e identificarlo con la propia fibra. Si en cada punto de la fibra TM(x) elegimos el vector tangente en T(TM(x)) naturalmente identificado con ese punto, terminamos con un campo vectorial vertical definido en toda la TM. Con esta estructura natural en la mano, ahora se puede proceder a geometrizar la mecánica lagrangiana.

Answer 5

Hace poco traté de entender una conferencia similar de un colega de mi universidad. Utiliza como fuente la "Teoría cuántica de los campos" de Folland; puede que te resulte útil.

La estructura simpléctica en el haz cotangente a $M$ viene dada por la diferencial $\Omega$ de la forma 1 $\omega$ definido por $\omega_{v^*}(v) = v^*(\pi_*(v))$ para $v^* \in T^*M$ y $v \in T_{v^*}(T^*M)$ . (No he podido saber por tu pregunta si esto ya estaba claro o no. Gracias a Orbicular por señalar que mi versión original dependía de una elección de coördinados).

La siguiente es una cita directa de Folland:

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empezamos con un espacio de configuración $N$ que se toma como un colector y se supone que es una descripción de las posibles "posiciones" del sistema. Aquí hay bastante flexibilidad. Por ejemplo, si el sistema está formado por $k$ partículas que se mueven en $\mathbb R^3$ , $N$ será $\mathbb R^{3k}$ o tal vez $\{(\mathbf x_1, \ldots, \mathbf x_k) \in \mathbb R^{3k} : \mathbf x_i \ne \mathbf x_j\text{ for }i \ne j\}$ . Si el movimiento está sujeto a algunas restricciones, $N$ podría ser un submanifold de $\mathbb R^{3k}$ en su lugar. Sin embargo, para un cuerpo rígido asimétrico, el espacio de configuración apropiado es $\mathbb R^3 \times \operatorname{SO}(3)$ tres coordenadas lineales para dar la ubicación del centro de masa (o algún otro punto conveniente en el cuerpo), y tres coordenadas angulares para dar la orientación del cuerpo en el espacio.

Las velocidades se toman como vectores tangentes al espacio de configuración, por lo que el espacio de estado posición-velocidad es $T N$ . Por otro lado, la aparición de los corchetes de Poisson en el formalismo hamiltoniano [anteriormente] nos lleva a tomar el espacio de estado posición-momento como la variedad simpléctica $T^*N$ . [L]a matriz de masa $m$ debe interpretarse como una métrica de Riemann sobre $N$ que media entre vectores y covectores . $T^*N$ se denomina tradicionalmente espacio fásico del sistema. (El origen del nombre está en la mecánica estadística).

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Por lo tanto, me parece que es el configuración El espacio de fase, y no de fase, se supone que es físicamente obvio; y que la designación del haz cotangente como espacio de fase es sobre todo una cuestión de terminología.

Una vez que tenemos la estructura simpléctica, la utilizamos para equipar, no $N$ ou $T^*N$ pero $C^\infty(T^*N)$ con un soporte de Poisson, con respecto al cual es un álgebra de Lie. Sin embargo, se trata de una inmensa (de dimensión enormemente infinita), por lo que es difícil creer que tenga algo que ver con el álgebra de Lie mucho más pequeña $T_1G$ cuando $N = G$ es un grupo de Lie.