¿Cuántas curvas cúbicas hay?

Question

Es bien sabido que sólo hay un "tipo" de recta, y que hay tres "tipos" de curvas cuadráticas (cuya naturaleza depende del signo del llamado "discriminante").

Cabe destacar que muchas de las curvas cúbicas nombradas se parecen bastante: la folio de Descartes El trisectrix de Maclaurin El (derecha) estrofas y el Tschirnhausen cúbico tienen una forma muy similar; el parábola semicúbica y el cissoide de Diocles también se parecen entre sí.

He puesto deliberadamente la palabra "tipo" entre comillas, ya que no me parece que haya una forma intuitiva de definir el término, por lo que una respuesta a mi pregunta podría tener que definir "tipo" rigurosamente en el contexto de las curvas cúbicas. (Un invariante algebraico, por ejemplo... ¡es una pena que no parezca haber un análogo de la "excentricidad" para los cúbicos!)

En aquí En cuanto a los cúbicos, se observa que Newton los clasificó en 72 "tipos", y Plücker, después de él, describió 219 "tipos".

Entonces, ¿cómo se distingue algebraicamente una curva cúbica de otra, y con una definición rigurosa de "tipo", cuántas cúbicas hay?

Answer 1

La noción más estándar de "tipo" es la de isomorfismo en geometría algebraica, es decir, hay mapas polinómicos de una curva a otra que, cuando se componen, son la identidad en las curvas (no tienen por qué ser la identidad en otros lugares).

Para las curvas reales del plano afín, esta noción reproduce el hecho de que hay una única recta y exactamente tres cónicas suaves (sobre los números complejos, las elipses y las hipérbolas resultan ser las mismas, y en el plano proyectivo, todas son iguales).

Sin embargo, independientemente del campo terreno (bueno, independientemente de trabajar sobre los números reales o complejos), hay infinitos cúbicos diferentes hasta el isomorfismo, determinados por la j-invariante uno por cada elemento del campo.

Una conclusión que puedes sacar de esto es que realmente no hay una buena forma algebraica de decir que sólo hay un número finito de tipos de cúbicas planas, a menos que quieras meter en el mismo saco a todas las cúbicas suaves (cosa que claramente no quieres, ya que consideras que las parábolas, las hipérbolas y las elipses son distintas). No sé qué método utilizaron Newton y Plücker para clasificarlas, pero el isomorfismo es el método estándar en la geometría algebraica moderna.

Answer 2

En Mathematics and its History, de John Stillwell, se observa que Euler criticó la clasificación de Newton por carecer de un principio general, pero que un examen más detallado del trabajo de Newton revela uno. De hecho, su obra ofrece una clasificación general en 5 tipos, representados en página 112 de ese libro .

Creo que la diferencia en los casos real y complejo, es el hecho de que el lugar "discriminante" de los cúbicos singulares tiene codimensión real uno en el caso real, por lo tanto separa el espacio de los cúbicos lisos en componentes conectados distintos, y esto puede ser los tipos buscados. Por el teorema de Ehresmann, una familia conectada de variedades compactas tiene el mismo tipo topológico. Por lo tanto, las curvas en diferentes componentes conectadas del complemento del lugar discriminante pueden tener diferente tipo de homeomorfismo.

Al menos uno (¿dos?) de los tipos de Newton es también singular y podría representar el punto general (y especial) del locus discriminante. No soy un experto.