Es, por supuesto, uno de los primeros resultados del análisis complejo básico que una función holomorfa satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann cuando se considera como una función real diferenciable de dos variables. Siempre he visto lo contrario como: si $f$ es continuamente diferenciable como función de $U \subset \mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces es holomorfa (véase, por ejemplo, Stein y Shakarchi, o Wikipedia ). ¿Por qué el $C^1$ ¿condición necesaria? No veo dónde entra esto en la prueba de abajo.
Supongamos que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son continuamente diferenciables y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sea $h=h_1 + h_2i$ . Entonces
\begin{equation*} u(x+h_1, y+h_2) - u(x,y) = \frac{\partial u}{\partial x} h_1 + \frac{\partial u}{\partial y}h_2 + o(|h|) \end{equation*} y \begin{equation*} v(x+h_1, y+h_2) - v(x,y) = \frac{\partial v}{\partial x} h_1 + \frac{\partial v}{\partial y} h_2 + o(|h|). \end{equation*} Multiplicando la segunda ecuación por $i$ y sumando los dos da como resultado \begin{align*} (u+iv)(z+h)-(u+iv)(z) &= \frac{\partial u}{\partial x} h_1 + i \frac{\partial v}{\partial x} h_1 + \frac{\partial u}{\partial y} h_2 + i \frac{\partial v}{\partial y} h_2 + o(|h|)\\\ &= \left( \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \right) (h_1+i h_2) + o(|h|). \end{align*} Ahora dividiendo por $h$ nos da el resultado deseado.
¿Existe una solución diferenciable pero no $C^1$ función $f: U \rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y NO corresponde a una función diferenciable por el complejo?
