¿Es la función diferenciable?

Question

Dejemos que $\alpha, \beta \ge 1 \in \mathbb{N}$ y:

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{x^\beta }\sin \left( {{1 \over {{x^\alpha }}}} \right)} \cr {0,x = 0} \cr } } \right.$$

He comprobado la continuidad y he encontrado que la función es continua para cada $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ .

Ahora, la derivada $f'(x_0)$ es:
$$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^\beta }\sin \left( {{1 \over {{x^\alpha }}}} \right) - {x_0}^\beta \sin \left( {{1 \over {{x_0}^\alpha }}} \right)} \over {x - {x_0}}}$$

Para, $x_0 = 0$ que tenemos:

$$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^\beta }\sin \left( {{1 \over {{x^\alpha }}}} \right) - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{\beta - 1}}\sin \left( {{1 \over {{x^\alpha }}}} \right)$$

Si $\beta = 1$ entonces el límite no existe. Por lo tanto, $f$ no es diferenciable en $x_0=0$ .

Si $\beta > 1$ entonces el límite es $0$ (Por lo tanto, $f'(0) = 0$ ).

No estoy seguro de haber cubierto todos los casos. ¿Hay algún otro punto que sea indiferenciable?

Answer 1

Cuando encuentre $f'(x_{0})$ , donde $x_{0}=0$ El término $x_{0}^\beta\sin\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)$ no es $0$ por el término $\frac{1}{x^\alpha}$ .

Dado que tu función es continua, puedes utilizar el siguiente resultado (debido al Teorema del Valor Medio).

Dejemos que $f$ sea continua en $x_{0}$ y supongamos que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)$ salidas. Entonces $f$ es diferenciable en $x_{0}$ y $f'(x_{0})=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)$ .

Ahora, para todos $x\neq 0$ la función dada es diferenciable.

A continuación, considere $x=0$ . Entonces, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left[\beta x^{\beta-1}\sin\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)-\alpha x^{\beta-(\alpha+1)}\cos\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)\right]$ .

Para $f$ sea diferenciable en $x=0$ :

El límite anterior existe (y equivale a $0$ ) si $\beta-1\neq 0$ y $\beta-(\alpha+1)\neq 0$ . Dado que $\alpha,\beta\geq 1$ obtenemos $\beta-(\alpha+1)\neq 0$ Es decir, $\beta\neq \alpha+1$ .