¿Por qué los tensores son una generalización de los escalares, vectores y matrices?

Question

Tomemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre un campo $F$ . Se puede formar el producto tensorial $V\otimes W$ y cumple una propiedad universal. Los elementos de $V\otimes W$ se llaman tensores y son combinaciones lineales de tensores elementales $v\otimes w$ los tensores elementales generan $V\otimes W$ .

La gente de la física piensa en un tensor como una generalización de escalares, vectores y matrices, creo y los he visto tensando matrices con matrices como entradas con matrices y así sucesivamente.

¿Qué significa esto y qué tiene que ver con la definición anterior? ¿Qué es un tensor?

Answer 1

De forma más general, se pueden formar productos tensoriales $V_1\otimes \cdots \otimes V_k$ de un número arbitrario de espacios vectoriales, y un tensor se refiere a un elemento de uno de estos espacios, no sólo el caso $k=2$ .

Si $k=1$ entonces obviamente un tensor es lo mismo que un vector en $V_k$ .

Scott Carter explicó cómo los tensores para $k=2$ (es decir, tensores de rango 2) corresponden a matrices. He aquí otro punto de vista sobre lo mismo. Si $W^*$ es el espacio dual de $W$ (es decir, el espacio vectorial de las funciones lineales de $W$ al campo base) entonces $V\otimes W^*$ puede identificarse con $L(W,V)$ el espacio de los mapas lineales de $W$ a $V$ , estableciendo $(v\otimes f)(w) = f(w) v$ , para $v\in V$ , $f\in W^*$ y $w\in W$ . (Estoy asumiendo que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita para simplificar; también hay que trabajar para demostrar que esta identificación está realmente bien definida). Por supuesto, dadas las bases de $W$ y $V$ , $L(W,V)$ también puede identificarse con un espacio de matrices.

De manera similar, $V^* \otimes V^*$ se identifica con los mapas bilineales en $V$ .

Iba a escribir algo sobre la multiplicación de tensores, pero como Johannes Hahn acaba de escribir una respuesta sobre eso, te remitiré allí.

Answer 2

El tensor en medios físicos es un tipo de operador lineal. Actúa sobre el espacio tangente/cotangente de un múltiple (normalmente) diferencial y nos da al final algunos invariantes en términos de escalares, lo que significa que tales valores son independientes de cierta clase de cambios de coordenadas. Como el principal cambio en el colector es el cambio del mapa, tales objetos, para tener un significado físico (que es la simple independencia del cambio de coordenadas) deben tener ciertas propiedades durante este cambio. Así que básicamente el ejemplo aquí es el volumen, la energía, la masa.

La otra causa del cálculo tonsorial es que el operador de evolución para muchos sistemas dinámicos puede prescribirse infinitesimalmente como operador lineal sobre el espacio tangente, y de hecho esta nación está conectada al álgebra de Lie del grupo que actúa sobre el colector diferencial de configuraciones del sistema. Así que tales "transportes" lineales en el espacio de configuración del colector actúan sobre varias cantidades definidas para un sistema, en infinitesimal como tensores - de hecho son coeficientes de la expansión multidimensional de Taylor de tales cantidades. Estos ejemplos surgen principalmente en la cinética química de las reacciones, por ejemplo, donde normalmente se trata de aproximaciones lineales, los tensores de tensión de varios materiales continuos, o en la Relatividad General. Cabe destacar que no todos los objetos físicos son tensores (aunque todos los independientes de las coordenadas lo son, sin embargo, a veces una cantidad física habitual puede ser, por ejemplo, una parte de un objeto tensorial mayor. En este caso tal cantidad es dependiente de las coordenadas, ver: ver discusiones sobre "masa relativista" o dilatación del tiempo).

Así que, básicamente, la geometría está detrás de los tensores y es hermosa.