¿Por qué los tensores son una generalización de los escalares, vectores y matrices?

Question

Tomemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre un campo $F$ . Se puede formar el producto tensorial $V\otimes W$ y cumple una propiedad universal. Los elementos de $V\otimes W$ se llaman tensores y son combinaciones lineales de tensores elementales $v\otimes w$ los tensores elementales generan $V\otimes W$ .

La gente de la física piensa en un tensor como una generalización de escalares, vectores y matrices, creo y los he visto tensando matrices con matrices como entradas con matrices y así sucesivamente.

¿Qué significa esto y qué tiene que ver con la definición anterior? ¿Qué es un tensor?

Answer 1

Antiguamente, un tensor era "algo" cuyas componentes se transformaban de una manera determinada cuando se cambiaban las coordenadas. Hoy en día, bueno, es lo mismo con un lenguaje diferente.

Answer 2

Recuerdo haber estado muy confundido por esto cuando intenté por primera vez aprender esto de las matemáticas más antiguas y física cuando era estudiante de secundaria. Desde este punto de vista, un tensor era algo con muchos índices que se transformaba según reglas específicas y bastante complicadas. Nunca me quedó claro qué era realmente un tensor.

Más tarde, cuando aprendí el punto de vista moderno, las cosas (finalmente) tuvieron más sentido. En lenguaje moderno, es así. Se parte de un conjunto abierto X del espacio euclidiano o, más generalmente, de un colector. Un tensor (campo) sobre X de tipo (m,n) asigna a cada $x\in X$ un elemento del producto tensorial $T_x\otimes \ldots T_x\otimes T_x^*\otimes \ldots T_x^*$ donde se tienen m factores del espacio tangente $T_x$ y n factores del espacio cotangente $T_x^*$ . Después de elegir las coordenadas locales, se puede escribir todo en bases y compararlo con la notación clásica. Especializando $(m,n)=(0,0)$ corresponde a un campo escalar, y $(m,n)=(1,0)$ a un campo vectorial. También cuando $m+n=2$ , podemos ver un tensor (localmente) como una función con valor de matriz.

Espero que eso ayude.

Answer 3

Creo que muchas de las respuestas asumen que sabes lo que es el producto tensorial...

Un ejemplo especialmente ilustrativo puede ayudar en este sentido. Antes de darlo, me gustaría mencionar que los matemáticos no reconocen el origen del nombre tensor. El significado se perdió probablemente con el uso excesivo, pero se conserva en las traducciones de otros idiomas (yo soy chino). Tensor se parece a tensión, y (imagino) se usó primero para describir la tensión de una membrana o algo así. (Luego Riemann lo retomó como algo que tiene más de dos índices, para su curvatura por ejemplo. Podría equivocarme en la historia).

Si quieres tensar un plano con otro plano, eso no va a ser especialmente esclarecedor. Será un espacio de cuatro dimensiones, pero apenas se ve qué tiene que ver con los dos planos.

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de polinomios de grado $\leq n$ y que $W$ sea el espacio vectorial de polinomios de grado $\leq m$ . Como sabes, el producto tensorial $V\otimes W$ debe consistir en todas las cosas de la forma $v\otimes w$ para cada $v\in V$ y cada $w\in W$ y todas sus combinaciones lineales (finitas). Por suerte, en este caso, tenemos un buen candidato para lo que $v\otimes w$ es (o se identifica con). Para $v=p(x)$ un polinomio en $x$ y $w=q(y)$ un polinomio en (otra variable) $y$ entonces $v\otimes w$ es simplemente el producto $p(x)q(y)$ como un polinomio de dos variables. Ahora ves lo que es el producto tensorial: $V\otimes W$ es el espacio vectorial de polinomios de dos variables, cuyo grado en $x$ es como máximo $n$ y el grado en $y$ es como máximo $m$ . Obviamente $\dim V\otimes W = \dim V\times\dim W$ .

Quizá merezca la pena pensar en lo que ocurre con $V\otimes V$ cuando se hace un cambio de base en $V$ .

Sería un pecado no mencionar la extensión en el caso de las dimensiones infinitas. $k[x]\otimes k[y]=k[x,y]$ como se puede comprobar utilizando la propiedad universal.

Espero que sea de ayuda.

Answer 4

Si se toma un espacio vectorial (de dimensión finita) V entonces existe un isomorfismo

$V^* \otimes V \simeq \text{Hom}(V,V)$

Así que el primer producto tensorial es precisamente mapas lineales de $V$ a sí mismo (es decir, las matrices, una vez que se elige una base para $V$ ).

Si tienes alguna estructura extra en V (digamos un producto interno no degenerado o la elección de una base) entonces puedes identificar V con $V^*$ , teniendo así una identificación

$V \otimes V \simeq V^* \otimes V \simeq \text{Hom} (V,V)$ .

Todo lo demás es una generalización (directa) de lo anterior.

Answer 5

La siguiente discusión es sólo para espacios vectoriales de dimensión finita:

El producto tenor de dos espacios vectoriales $V$ y $W$ surge, porque se quiere trabajar con mapas y funciones bilineales, en lugar de sólo lineales, de $V \times W$ . La observación clave es que el espacio de todas las posibles funciones bilineales de valor escalar o mapas de valor vectorial es a su vez un espacio vectorial que se extiende por funciones bilineales simples construidas mediante la multiplicación de una función lineal en $V$ por una función lineal en $W$ .

Dejemos que $T$ denotan el espacio vectorial de todas las funciones bilineales de valor escalar sobre $V \times W$ y observar que existe un mapa natural $V^* \times W^* \rightarrow T$ . Además, es fácil ver que $V^* \times W^* $ genera todos los $T$ en el sentido de que su imagen no se encuentra en ningún subespacio propio de $T$ . Esto nos lleva a la notación $T = V^* \otimes W^*$

La siguiente observación es que existe un mapa bilineal natural $V\times W \rightarrow T^* $ que corresponde a la evaluación del $(v,w)$ con un elemento de $T$ . De nuevo, la imagen "abarca" todo el $T^* $ en el sentido de que no se encuentra en ningún subespacio propio. Además, la dualidad lineal entre $T$ y $T^* $ corresponde exactamente a la evaluación de una función bilineal sobre un elemento en $V\times W$ . Por lo tanto, es razonable denotar $T^*$ por $V \otimes W$ .

Así que, moralmente hablando, $V\otimes W$ es el espacio vectorial "más pequeño" tal que existe un mapa inyectivo bilineal $V \times W \rightarrow V\otimes W$ . Por supuesto, esta afirmación puede precisarse definiendo $V\otimes W$ como objeto universal.

Por último, no es difícil demostrar la observación bastante genial (y para mí no tan obvia) de que el espacio de mapas lineales $V \rightarrow W$ es naturalmente isomorfo a $W\otimes V^* $ . En este sentido, los tensores generalizan las matrices vistas como transformaciones lineales.