Existe una función tal que $f(f(n)) = 2^n$?

Question

En esta pregunta, yo estaba buscando un "centro de la familia" de funciones entre polinomios y "anti-polinomio exponenciales", como yo les llamo, que son las funciones como en el caso de $2^{\sqrt{n}}$ que se convierten exponencial cuando se conecta a un polinomio (en el caso anterior, $f(n^2) = 2^n$).

Ahora lo que me pregunto es si existe una función que se encuentra "exactamente a mitad de camino" entre lineal y exponencial de esta manera. ¿Existe un continuo, la monotonía de la función $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ tal que $f(f(x)) = 2^x$ todos los $x > 0$? Hay una forma cerrada para él?

Answer 1

Estoy teniendo problemas para conseguir el 2; Helmut Kneser mostró que hay una verdadera analítica de la función, se $h(x),$ tal que $$ h(h(x)) = e^x. $$

Podría ser necesario volver a realizar todo el argumento para conseguir $2.$ Kneser y papeles relacionados en MEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Un buen ejemplo es la mitad de recorrer $\sin x,$ me tomó bastante tiempo, pero a ver http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765

en promedio, una disminución en la función de las reglas de cualquier medio iterar, $\sin x$ es extremadamente caso especial.

Tenga en cuenta que si sólo pedimos differentiabilty, no es un teorema en el KCG libro que le da. Creo que he incluido en los extractos en mi sitio web.

Answer 2

Es posible definir la función a trozos, demasiado. Suponga que $f(0)=\frac{1}{2}$,$f(1/2)=1$.

Deje $I_0=[0,1/2]$ y definen $f$ $I_0$ $$f(x)=x+\frac{1}{2}.$$ Since $f(1)=\sqrt{2}$, we can take $I_1=[1/2,1]$ and define $f$ over $I_1$ as $$f(x)=2^{x-1/2},$$ then $f$ over $I_2=[1,\sqrt{2}]$ as $$f(x)=x\sqrt2,$$ $f$ over $I_3=[\sqrt{2},2]$ as $$f(x)=2^{x/\sqrt2},$$ $f$ over $I_4=[2,2^\sqrt2]$ as $$f(x)=x^\sqrt{2},$$ $f$ over $I_5=[2^\sqrt2,4]$ as $$f(x)=2^{x^{1/\sqrt2}},$$ $f$ over $I_6=[4,2^{2^\sqrt2}]$ as $$f(x)=2^{(\log_2 x)^{\sqrt2}},$$ $f$ over $I_7=[2^{2^\sqrt 2},16]$ as $$f(x)=2^{2^{(\log_2 x)^{1/\sqrt2}}},$$ $f$ over $I_8=[16,2^{2^{2^\sqrt2}}]$ as $$f(x)=2^{2^{(\log_2 \log_2 x)^{\sqrt2}}}$$ y así sucesivamente.

Tenemos $I_{n+1}=[\max I_n,2^{\min I_n}]$, y dado que el $g_n$ es la función inversa de $f_{|I_n}$, $$f_{|I_{n+1}}=2^{g_n}.$$ Continuidad y monotonía que se cumplan.

Answer 3

Esto no parece funcionar, pero si alguien me pudiera decir exactamente lo que está mal con este razonamiento, yo estaría más que agradecido.

$$\text{let}\quad f\circ f(x):=a^x, \quad f(x)=a^{kx} \quad\text{for arbitrary $$}$$ $$a^{\displaystyle{ka^{kx}}}=a^x$$ $$(kx)e^{(kx)}=x^{1+1/\ln(a)}$$ $$k=\frac{\mathrm{W}\left(x^{1+1/\ln(a)}\right)}{x}$$ $$\therefore\quad f(x)=e^{\left(\mathrm{W}\left(x^{1+1/\ln(a)}\right)\right)}$$

Estoy bastante seguro de que es malo, pero no puede ver por qué.