Prueba $L^p$ ( $1\leqslant p\leq +\infty)$ Normas sobre $C[0,1]$ no son equivalentes

Question

Para $p<q$ utilizando la desigualdad de Holder, deduje que $$ \int_{[0,1]}|f|^p dx = \int_{[0,1]}|f|^p\cdot 1dx \leqslant\left(\int_{[0,1]}|f|^{p\cdot {q\over p} } dx\right)^{p\over q} \left(\int_{[0,1]}1^{ q\over q-p } dx\right)^{q-p\over q} =\left(\int_{[0,1]}|f|^q dx\right)^{p\over q}, $$ así, $\Vert f\Vert_p\leqslant\Vert f\Vert_q$ , lo que significa que $\Vert\cdot\Vert_p$ es más débil que $\Vert\cdot\Vert_q$ .

Deseo averiguar (1) Si mi deducción fue correcta (2) ¿Cómo demostrar además que estas dos normas no son equivalentes? Tenga en cuenta que el espacio es $C[0,1]$ .

Answer 1

Pista:- ¿Sabes que $C[0,1]$ es denso en $L^{p}$ ? . ¿Ahora ves el problema? $L^{p}$ no es igual a $L^{q}$ si $p\neq q $ . Pero si las normas son equivalentes, ¿qué se puede concluir utilizando la densidad de $C[0,1]$ ?