condición de entrada uniforme para minimizar la función convexa

Question

Dejemos que $f:\mathbb{P}(X) \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función convexa donde $\mathbb{P}(X)$ es el conjunto de la distribución de probabilidad sobre el conjunto (finito) $X$ .

Estoy buscando la condición de $f$ por lo que puedo decir que la distribución uniforme es minimizadora de $f$ .

Por ejemplo, si existe un grupo $G$ que actúan sobre $\mathbb{P}(X)$ tal que para todo $g \in G$ : $f(p)=f(g\cdot p)$ entonces sigue eso:

$$ f(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g\cdot p) \leq \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(g\cdot p) = f(p)$$ para todos $p \in \mathbb{P}(X)$ . Si además $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g\cdot p$ es uniforme en $X$ entonces la distribución uniforme da el mínimo de $f$ .

¿Existe una condición relajada para que ese uniforme sea óptimo?

Answer 1

Un mapa afín $g$ en $\mathbb P(X)$ corresponde a una matriz estocástica (derecha) $T$ es decir, una matriz con entradas reales no negativas, cada fila sumando $1$ actuando sobre $\mathbb P(X)$ (representados por vectores de fila) por $\pi \mapsto \pi T$ . La matriz $T$ es doblemente estocástica si la distribución uniforme es invariante bajo $g$ . Si además $T$ es aperiódico e irreducible, entonces los iterados $g^{(n)}(\pi)$ se acercan a la distribución uniforme como $n \to \infty$ . Así:

Si $f(\pi T) \le f(\pi)$ para todos $\pi \in \mathbb P(X)$ , donde $T$ es una matriz aperiódica irreducible doblemente estocástica, entonces la distribución uniforme minimiza $f$ .