Dominio de $y=x^2\ (2 - x)^{2/3}$ y $y=x^2\ \sqrt[3]{(2 - x)^{2}}$ .

Question

Tengo algunos problemas con el dominio de la siguiente función real: $$y=x^2\ (2 - x)^{2/3}$$ Desde $t^{2/3}=\sqrt[3]{t^2}$ podemos reescribir la función como $$y=x^2\ \sqrt[3]{(2 - x)^{2}}$$ Así, el dominio es $D=\mathbb R$ . Pero, por Wolfram: $$D=\{x \in\mathbb R : x\leq 2\}$$ ¿Por qué? Tal vez sea $t^{2/3}=\sqrt[3]{t^2}$ ¿no es siempre posible?

Gracias de antemano.

Answer 1

Para el conjunto de números complejos, la respuesta de Wolfram alpha es correcta

Pero para el conjunto de números reales, tu respuesta es correcta.

Answer 2

Por WolframAlpha $$\sqrt[3]{x^2}\not\equiv x^{2/3}$$

Tiene que ver con los números complejos. Para $x<0$ los valores de estas dos funciones difieren, ya que para los números complejos la regla $$(a^b)^c=a^{bc}$$ no siempre es cierto. Proviene del hecho de que las raíces complejas son multivaluadas.

El dominio de su función depende de cómo defina $x^{m/n}$ . En la escuela, los profesores lo definen como $$x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$$

Se trata de una definición bastante intuitiva pero, desgraciadamente, no es consistente para los negativos $x$ . Cuando se trata de números complejos, esta expresión es multivaluada y su valor principal se define de forma diferente, como

$$x^{m/n}=|x|^{m/n}(\cos(\tfrac{m}n\cdot \operatorname{Arg}(x))+i\sin(\tfrac{m}n\cdot\operatorname{Arg}(x))=|x|^{m/n}\exp(\tfrac{m}n\cdot i\operatorname{Arg}(x))$$

Cuando se trata de la primera definición, su dominio es correcto, es $$d=\mathbb R$$

mientras que cuando se trata de la segunda definición, para $x<0$ la expresión da números complejos, por lo que el dominio es $$D:x\geqslant 0$$

Answer 3

Según la respuesta de kamil09875, si se trata de números complejos las dos funciones no son equivalentes. Si se trata de números reales y se vive en un mundo donde $\sqrt[3]{-1} = -1$ entonces ambas funciones están definidas sobre todo $\mathbb{R}$ y su equivalente. Véase esta discusión en $(a^b)^c = a^{bc}$ .