¿Qué se puede hacer con un espacio de módulos compacto?

Question

Hace tiempo, en mi formación matemática, descubrí que muchos matemáticos se interesaban por los problemas de módulos. No mucho después tuve la sensación de que cuando los matemáticos se encontraban con un módulo no compacto les gustaría mucho compactarlo.

Mi pregunta es, ¿por qué la gente está tan ansiosa por compactar las cosas? Sé que la compacidad es una gran propiedad de un espacio porque a menudo hace que otros resultados sean mucho más fáciles de demostrar. Así que creo que mi pregunta está mejor formulada como: ¿cuáles son algunos ejemplos de resultados agradables/buenos/cool relacionados con un espacio de módulos que (sólo) pudieron demostrarse una vez que hubo una compactación del espacio?

Answer 1

Hay varias razones para la compactación de un espacio en general. Pero en mi opinión hay dos buenas razones:

Para hacer la teoría de la intersección en un espacio es bueno trabajar con un espacio compacto. Por ejemplo, la línea proyectiva es una compactación natural de la línea afín. se pierde la información sobre un punto en la línea afín a través de la homología: se puede mover ese punto al infinito en la línea proyectiva, el resultado en la línea afín es la desaparición del punto. Por lo tanto, no hay una noción bien definida de grado para los divisores en la línea afín. Esto se generaliza fácilmente a casos de mayor dimensión. No podemos demostrar el teorema de Bezout en espacios no compactos ya que no es cierto.

La segunda razón tiene que ver más con los espacios de moduli:

Los puntos de un espacio de moduli corresponden a algunos objetos de una categoría $C$ que están siendo parametrizados por el espacio de moduli. Cuando existe una noción de cambio continuo de los objetos de $C$ obtenemos una topología en el espacio de moduli. El espacio de moduli no es compacto cuando no contiene algunos límites de familias de los objetos de $C$ . Así, una compactación debe considerarse como la adición de una clase de límites naturales de los objetos de $C$ . Obtenemos una compactación diferente si damos una interpretación diferente a los puntos del espacio de moduli. Por ejemplo $M_{0,5}$ el espacio de moduli de las curvas suaves y puntiagudas de género cero con 5 puntos es un subconjunto abierto de $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ . Su compactación de Deligne-Mumford $\overline{M}_{0,5}$ que es $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ volado en tres puntos no es sólo $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ .

El segundo espacio no da una familia plana de curvas estables de género cero con 5 secciones disjuntas en el lugar liso de las fibras como extensión de la familia universal de curvas sobre $M_{0,5}$ .

Answer 2

Las respuestas aquí son todas excelentes ejemplos de cosas que sólo se pueden demostrar una vez que se compacte un espacio de módulos. Me gustaría añadir una razón quizá más básica para compactar los espacios de módulos, que implica algo más sencillo que las aplicaciones teóricas, como la definición de invariantes enumerativos. La moraleja es la siguiente:

Si se estudian familias de objetos geométricos, o bien se está casi seguro de encontrar el límite del espacio de moduli, o se debe tener alguna razón muy buena para descartarlo.

Por ejemplo, encontrar una familia compacta no trivial de curvas complejas suaves es en realidad bastante complicado y tales familias son muy raras. (Los primeros ejemplos se deben a Atiyah y Kodaira.) Desde este punto de vista, la "ubicuidad de la compactación" equivale al hecho de que el divisor de la frontera de las curvas singulares en el espacio de moduli compactado es positivo en un cierto sentido, por lo que intercepta casi todas las curvas del espacio de moduli. Esta positividad de la frontera es lo que nos obliga a estudiarla.

Algunos ejemplos más explican -¡espero! - la forma en que entra la compactación cuando se consideran curvas pseudoholomorfas como en la teoría de Gromov-Witten, sin acercarse nunca a intentar definir un invariante enumerativo. Sólo con mirar una cónica en $\mathbb{CP}^2$ , que degenera en dos líneas, se ve que al desplazar una curva pseudoholomorfa, es casi seguro encontrar burbujas, a menos que se tenga una muy buena razón para saber lo contrario. Entendiendo cómo se compacta el espacio de moduli, vemos que este fenómeno de burbujeo es lo principal que puede salir mal. Lo interesante aquí es que a menudo se intenta demostrar que esta compactación es no es realmente necesario descartando el burbujeo de alguna manera. A continuación se presentan dos ejemplos -tomados del uso original de Gromov de las curvas pseudoholomorfas en su artículo Inventiones- que explotan esta idea.

En primer lugar, la prueba de Gromov de su teorema de no apriete. Aquí el punto clave del argumento es que se puede encontrar un cierto disco pseudoholomorfo para una estructura estándar casi compleja en $\mathbb{C}^n$ . Uno quisiera saber que a medida que se deforma la estructura casi compleja el disco persiste, de modo que tenemos tal disco para una estructura casi compleja especial no estándar. Lo normal en este tipo de "método de continuidad" es que siempre se pueda deformar el disco durante un tiempo porque el problema es elíptico. Pero para empujar la deformación indefinidamente hay que demostrar la compacidad -¿por qué no se rompe el disco? Gracias a nuestro conocimiento de la compactación del espacio de moduli, entendemos que lo único que puede fallar es la burbuja y en este caso no se pueden formar burbujas porque la estructura simpléctica es exacta.

El segundo ejemplo es del siguiente tipo: supongamos que se conoce la existencia de un curva pseudoholomorfa en una variedad simpléctica; entonces se puede intentar utilizarla para investigar el espacio ambiental, moviéndola y tratando de barrer la mayor parte posible del espacio. De este modo se puede demostrar, por ejemplo, que cualquier estructura simpléctica en $\mathbb{CP}^2$ que admite una esfera simpléctica con auto-intersección 1 debe ser la estructura simpléctica estándar. La razón es que se puede encontrar una estructura casi compleja que haga de esta esfera una curva pseudoholomorfa. Entonces se mueve la curva hasta que barre todo el espacio, haciéndolo con suficiente cuidado para dar un simplectomorfismo con la estructura estándar $\mathbb{CP}^2$ . Aquí puedes empujar la curva donde quieras porque no se romperá. Las burbujas no se pueden formar porque la curva tiene área simpléctica 1 y por lo tanto no hay "área de sobra" para hacer burbujas.

Answer 3

A menudo podemos plantear cuestiones de geometría enumerativa en términos de la teoría de la intersección en algún espacio de moduli. Para que esto funcione, hay que tener algo así como una clase fundamental para el espacio de módulos. Para obtener algo parecido a una clase fundamental, normalmente se intenta encontrar una compactación agradable (geométricamente significativa). Entonces, el emparejamiento con la clase fundamental se calcula integrando sobre todo el espacio, y ahí se ve por qué es importante/útil tener un espacio compacto.

Un buen ejemplo elemental de las ventajas de la compactación lo proporciona el teorema de Bezout sobre el recuento de las intersecciones de las curvas en $P^2$ . Dice que el número de puntos de intersección (contados con multiplicidad) es igual al producto de los grados. Si en cambio se intenta trabajar con curvas en el espacio afín $A^2$ entonces es más complicado contar los puntos de intersección. En este ejemplo, estoy pensando en $A^2 \subset P^2$ como un ejemplo sencillo de compactación de un espacio de módulos.

No conozco los detalles de ésta, pero recuerdo que la irreducibilidad del espacio de moduli de las curvas en cualquier característica fue demostrada por Deligne y Mumford mediante la introducción de la famosa compactificación de Deligne-Mumford.

Answer 4

Tomemos como ejemplo la teoría de Seiberg-Witten: En ella se considera el espacio de solución de alguna ecuación diferencial (motivada por la física) en un manifold de 4 dimensiones, modulando las transformaciones gauge. Se puede demostrar que este espacio cociente es, en efecto, una variedad suave compacta y orientable si las ecuaciones se perturban adecuadamente. La dimensión de este espacio puede calcularse a partir de los índices de los operadores implicados, y tomando su clase fundamental (¡que sólo existe porque el espacio es compacto!) se obtiene un invariante de difeomorfismo de los 4 manifolds, que es algo muy interesante.

Compárese con la teoría de Donaldson, que tiene los mismos objetivos, pero aquí es mucho más difícil construir los invariantes, precisamente porque hay que compactar el espacio de módulos, lo cual es una tarea difícil.

Si te interesa esto, te recomiendo (más o menos) el libro de Nicolaescu "Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten".

Answer 5

La compactación de Thurston del espacio de Teichmueller proporciona una elegante prueba de la clasificación de Nielsen--Thurston de los automorfismos de superficie. El espacio de Teichmueller compactado de la superficie de género g es homeomorfo a una bola ((6g-6)-dimensional), en la que un automorfismo $\phi$ actos. Por el teorema del punto fijo de Brouwer, $\phi$ fija un punto $x$ .

• Si $x$ es un punto interior, entonces $\phi$ es una isometría de alguna estructura hiperbólica, y es fácil deducir que $\phi$ es periódica.

• Si $x$ es un punto en la frontera entonces corresponde a alguna laminación medida. Si la laminación tiene una hoja cerrada, entonces $x$ es reducible.

• Por último, si la laminación no tiene hojas cerradas, entonces $\phi$ es pseudo-Anosov.

Es cierto que es posible dar una prueba de la clasificación que no utilice la compactación. Pero, ¿por qué querrías hacerlo?