Prueba el si $o(g) =x$ y $o(h) = y$ entonces $o(gh) = xy$

Question

Tomemos un grupo abeliano G, y dejemos que $g,h \in G$ con $o(g) = x$ y $o(h) = y$ demostrar que si $x,y$ son coprimos, entonces $o(gh) = xy$

(o(g) denota el menor número entero x s.t. $g^x = e$ )

Mi (mal) intento:

desde $o(g) = x$ entonces $o(g) | x$ , similar $o(h) | y$

Ahora dejemos que $o(gh) = k$ para algún número entero k,

entonces desde $x,y$ son coprimos $o(g) | o(h)o(gh)$ implica $o(g) | o(gh)$ De la misma manera $o(h) | o(gh)$ es decir $k = z_1 x$ y $k = z_2 y$ Así que la única manera de que esto sea posible es si $z_1 = y$ y $z_2 = x$ y hemos terminado

¿es este el enfoque correcto? ¿Podría alguien corregirme en alguna parte? Además, ¿por qué G tiene que ser abeliano?

Answer 1

Por abelianidad: $$(gh)^{xy}=(g^x)^y(h^y)^x=e$$ así $o(gh)|(xy)$ . Ahora dejemos que $(gh)^n=e$ entonces $g^n=h^{-n}$ Por lo tanto $h^{-nx}=g^{nx}=e$ por lo que $y\mid nx$ así $y\mid n$ porque $y$ es coprima con $x$ . De la misma manera, $g^{ny}=h^{-ny}=e$ Por lo tanto $x\mid ny$ eso es $x\mid n$ . En consecuencia, $xy\mid n$ .