Si un morfismo de empujes de complejos (con una flecha mónica) se compone de cuasi-isos, entonces la flecha inducida es también una

Question

EDIT: El título original era: Si un morfismo de diagramas de complejos se compone de cuasi-isomorfismos, ¿es la flecha inducida un cuasi-isomorfismo?

Dejemos que $J$ sea una categoría pequeña y $C$ sea la categoría de complejos sobre una categoría abeliana. Si $F,G:J\to C$ son funtores y $\tau:F\Rightarrow G$ es una transformación natural tal que $\tau_i:Fi\to Gi$ es un cuasi-isomorfismo para cada $i\in J$ es $\varinjlim \tau: \varinjlim F \to \varinjlim G$ ¿un cuasi-isomorfismo?

¿Y en el caso de los empujones?

Esta pregunta me surge al intentar comprobar que la categoría de complejos con la subcategoría de cuasi-isomorfismos es una "categoría de equivalencias débiles" en el sentido de Waldhausen (bueno, no exactamente, ya que estoy tratando con complejos de algunas categorías exactas especiales, pero para el caso presente no importa).

EDIT: El caso general ha sido respondido por Zhen Lin más abajo, pero aparentemente el caso en que una de las flechas de un pushout es mónico, el resultado debería ser verdadero. Después de algunas horas de intentarlo, no soy capaz de hacerlo. He intentado varias cosas usando secuencias exactas largas de homología y también Mayer-Vietoris para complejos, pero no puedo concluir. ¡Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

En general, la respuesta es no, incluso en el caso de los empujones. El objetivo de las colimitas homotópicas es solucionar esta deficiencia de las colimitas ordinarias.

Por ejemplo, dejemos que $D$ sea el complejo de cadenas de dos términos con $D_0 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ , $D_1 = \mathbb{Z}$ y la diferencial dada por $1 \mapsto (1, -1)$ . Considere el siguiente diagrama de empuje, $$\begin{array}{ccc} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\ \downarrow & & \downarrow \\ D & \rightarrow & S \end{array}$$ donde $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to D$ viene dada por $\mathrm{id}$ en grado 0 y $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ viene dada por $(x, y) \mapsto x + y$ . Entonces $S$ es un complejo de cadena de dos términos con $S_0 = S_1 = \mathbb{Z}$ y diferencial cero. Por otro lado, el morfismo $D \to \mathbb{Z}$ dado por $(x, y) \mapsto x + y$ en grado 0 es un cuasi-isomorfismo, y el correspondiente diagrama pushout es $$\begin{array}{ccc} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{Z} & \rightarrow & \mathbb{Z} \end{array}$$ pero $S$ no es cuasi-isomorfo a $\mathbb{Z}$ .

Answer 2

En la persecución de diagramas que había intentado sólo faltaba un ingrediente: el hecho de que los cokernels de un par de flechas paralelas en un pushout son compatibles isomorfos. De hecho, no conocía este hecho. Es fácil de demostrar usando la caracterización de un pushout por una secuencia exacta apropiada.

Aquí está la prueba, que escribí en $\LaTeX$ :