Son elementos conmutativa cuando subgrupos son?

Question

Supongamos que G es un grupo y para cada $H_1,H_2\le G$, $H_1H_2=H_2H_1$. Es $G$ abelian?

Answer 1

No necesariamente.

Deje $H_1$ $H_2$ ser subgrupos de $G$. A continuación, $H_1H_2 = H_2H_1$ si y sólo si $H_1H_2$ es un subgrupo.

Así, si por ejemplo cada subgrupo de $G$ es normal, a continuación, $H_1H_2$ siempre es un subgrupo. Los cuaterniones grupo de orden $8$ es un nonabelian grupo donde cada subgrupo es normal.