Base del JNF y relación de la matriz para esta base

Question

Supongamos que nos dan $\mathbf A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ -4&4&0\\ -2&1&2 \end{pmatrix}$

Su JNF es $\mathbf J = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$

No entiendo la siguiente afirmación

Si estamos en la base $\{e_1, e_2, e_3\}$ con respecto a que $\mathbf A$ está en JNF, entonces la matriz nos dice: $\mathbf A e_1 = 2e_1, \mathbf A e_2 = 2e_2 + e_1, \mathbf Ae_3 = 2e_3.$

Entiendo que si $\{e_1, e_2, e_3\}$ es la base estándar, entonces esto es cierto. Pero no es necesario que en las bases estándar $\mathbf A$ parece $\mathbf J,$ ¿entonces por qué la matriz cuenta como eso?

Answer 1

Si considera que $A$ como información de un cambio de base, entonces se puede describir como $$a_1=-4e_2-2e_3,$$ $$a_2=e_1+4e_2+e_3,$$ $$a_3=2e_3.$$ tras el cálculo de los vectores propios y los generalizados de $A$ se obtienen tres vectores $$v_1=-e_1-2e_2,$$ $$v_2=e_1+2e_2+e_3,$$ $$v_3=e_2,$$ que forman una matriz $S$ tal que $S^{-1}AS=J$ .

Entonces, resolviendo para $e_1,e_2,e_3$ y la subvención vas a conseguir $$a_1=2v_1,$$ $$a_2=v_1+2v_2,$$ $$a_3=2v_2.$$