Malentendido sobre el operador de Laplace

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$ . Sabemos que el operador de Laplace \begin{align} \Delta \colon H_0^1(\Omega) \to L^2(\Omega) \end{align} admite un operador inverso \begin{align} A \colon L^2(\Omega) \to H_0^1(\Omega) \end{align} que es buonded y entonces (por la desigualdad de Poincaré y el teorema de incrustación de Rellich) puede verse como un operador compacto de $L^2(\Omega)$ a $ L^2(\Omega) $ .

Ahora tengo un problema básico: como $\Delta$ no está acotado, ¿cómo puede ser A un operador acotado? ¿No contradice esto el teorema del mapa abierto?

Answer 1

Básicamente, el problema es la norma de los espacios donde se definen los operadores.

El operador de Laplace $\Delta$ tiene dominio $H^2_0 (\Omega)$ . Si se dota a este espacio de Sobolev con su norma, entonces $\Delta:H^2_0 (\Omega) \to L^2(\Omega)$ está acotado. Por lo tanto, no hay contradicción con el mapeo abierto thm.

Por otro lado, hay que tener en cuenta que no podemos aplicar el teorema del mapa abierto a $A: L^2(\Omega) \to H^2_0(\Omega)$ si consideramos el $L^2$ norma sobre $H^2(\Omega)$ (ya que no es un espacio de Banach).