Demostrar que la secuencia es una secuencia débilmente convergente

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Arreglar $a,b \in \mathbb{R}^n, 0 < \lambda < 1.$ Definir $$ u_k(x)= \left\{\begin{array}{ccc} a & \text{if } & \frac jk \leq x < \frac{\lambda(j+1)}{k}\\ b & \text{if } & \frac{\lambda(j+1)}{k} \leq x < \frac{j+1}{k} \end{array} \right. $$ para $j = 0, \dots, k-1$

Prueba $u_k \to \lambda a + (1-\lambda)b$ débilmente en $L^2(0,1)$ .

No sé cómo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Un resumen:

Primero demuestre que el $u_k$ están acotados en $L^2$ Llama al límite de sus normas $M$ . (Esto es fácil, ya que el $u_k$ están realmente acotados puntualmente).

Entonces, dado $g \in L^2$ y $\varepsilon > 0$ encontrar una función constante a trozos $s$ con $\| g - s \|_{L^2} < \varepsilon/2M$ . (Esto puede hacerse porque las funciones simples son densas y la medida de Lebesgue es regular). Ahora elegimos $K$ lo suficientemente grande como para que si $k \geq K$ entonces $s$ es constante en cada una de las piezas de $u_k$ . Usa esto y la desigualdad de Cauchy-Schwarz para terminar la prueba.