Ideales en un anillo noetheriano

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo, y que $\mathfrak{i}$ sea un ideal de $R$ , dejemos que $\{x_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$ sea un conjunto de generadores para $\mathfrak{i}$ Supongamos que $\mathcal{A}$ tiene infinitos elementos.

Ahora, supongamos que $R$ Noetheriano. ¿Puedo extraer de $\{x_{\alpha}\}$ un conjunto finito de generadores para $\mathfrak{i}$ ?

Sé que desde $R$ es noetheriano hay un número finito de generadores para $\mathfrak{i}$ . Pero, ¿puedo encontrar este conjunto extrayendo un número finito de elementos de un conjunto de generadores fijados arbitrariamente al principio?

Answer 1

Sí, puede hacerlo. Empieza con un elemento del conjunto $\{x_\alpha\}$ Llámalo $y_0$ . Si $\left<y_0\right> = \mathfrak i$ entonces has terminado. De lo contrario, hay un $y_1 \in \mathfrak \{x_\alpha\}$ tal que $y_1 \notin \left<y_0\right>$ . Si $\left<y_0, y_1\right> = \mathfrak i$ entonces has terminado. De lo contrario, hay un $y_2$ ...

Si este proceso nunca termina, entonces se obtiene una cadena de ideales estrictamente creciente, lo cual es imposible. Por lo tanto, en algún momento se ha obtenido un conjunto generador completo.