Si $AB=BA$ para todos $Bs$ , demuestre que $A=kI$ ?

Question

Dado $n\times n$ matriz A, si para todo $n\times n$ matrices $B$ , $AB=BA$ es cierto, Demuestra que $A=kI$

Se agradecerá cualquier sugerencia o solución. Gracias.

Answer 1

Sugerencia - elija B con cuidado para restringir las posibilidades de A - no tiene que ser invertible, así que pruebe con formas simples que faciliten el cálculo (la mayoría de las entradas = 0, por ejemplo).

Entonces, trabaja a partir de ahí.

Answer 2

Es evidente que el conjunto $\{kI\mid k\in F^{\times}\}$ es un subgrupo de $GL_n(F)$ . Supongamos ahora que $T\in GL_n(F)$ no es una transformación escalar lineal, por lo que hay que utilizar el hecho de que existe una $v$ tal que $v, T(v)$ son independientes, por lo que el conjunto $\{v,T(v)\}$ puede extenderse a una base para el espacio. De aquí se concluye que el conjunto $\{v,v+T(v),v_3,...,v_n\}$ es también una base para el espacio donde $\{v,T(v),v_3,...,v_n\}$ es la base extendida. Ahora, usted tiene una $S\in GL_n(F)$ tal que $$S(v)=v,~~ ST(v)=v+T(v), S(v_i)=v_i, ~~3\leq i\leq n$$ . Esto significa que $T$ no está en el centro de $GL_n(F)$ .

Answer 3

Si $A$ conmuta con todas las matrices en $M_n(\mathbb{R})$ entonces $A$ conmuta con todas las matrices en $M_n(\mathbb{C}))$ desde $M_n(\mathbb{C})=M_n(\mathbb{R})+i M_n(\mathbb{R})$ . Ahora bien, existen $P,Q \in GL_n(\mathbb{C})$ tal que $PAP^{-1}$ y $QAQ^{-1}$ son respectivamente triangulares superiores e inferiores. Por lo tanto, $A$ es un triángulo superior e inferior que es diagonal. Ahora, utiliza matrices con una sola entrada distinta de cero para concluir.

Answer 4

Obsérvese que el conjunto de todas las matrices de la forma $kI$ en el ring $M_n(K)$ de $n \times n$ matrices sobre un campo $K$ es isomorfo a $K$ . Lo que intentamos demostrar es que el centro de $M_n(K)$ es de hecho $K$ (que identificamos con las matrices diagonales).

Dejemos que $e_{ij}$ el ser el $n \times n$ matriz con $1$ en el $(i,j)$ -a entrada y $0$ en otro lugar. Es fácil demostrar que, si $A=(a_{ij})$ entonces $a_{ij}I=\sum \limits_{r=1}^{n} e_{ri}Ae_{jr}$ y que $e_{ij} e_{rs}= \delta _{jr}e_{is}$ , donde $\delta _{jr}$ es el delta de Kronecker. También $\sum \limits_{r=1}^{n} e_{rr}=I$ .

Tenga en cuenta que $kI$ conmuta con toda matriz, ya que $B(kI)=k(BI)=kB=(kI)B$ (por propiedades básicas de la multiplicación de matrices). Supongamos ahora que $A=(a_{ij})$ conmuta con toda matriz, entonces $a_{ij}I=\sum \limits_{r=1}^{n} e_{ri}Ae_{jr}=\sum \limits_{r=1}^{n} Ae_{ri}e_{jr}=\sum \limits_{r=1}^{n} A \delta _{ij}e_{rr}=A \delta _{ij} \sum \limits_{r=1}^{n}e_{rr}=A\delta _{ij}$ Así que $A$ es efectivamente diagonal.

Answer 5

Demuestre que todos los eingenvalores son iguales por contracción.