¿Cuándo elegir una base?

Question

La elección de una base específica suele verse con desdén cuando se hacen afirmaciones sobre cantidades independientes de la base. Por ejemplo, se podría definir la traza de una matriz como la suma de los elementos diagonales, pero muchos matemáticos nunca considerarían esa definición, ya que presupone la elección de una base. Sin embargo, para alguien que trabaje en algoritmos, ésta podría ser una perspectiva muy natural.

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de elegir una base específica? ¿Hay alguna situación en la que la prueba "correcta" requiera la elección de una base? (Me refiero a una prueba con la mayor claridad y perspicacia -- esto es subjetivo, por supuesto). ¿Y la situación contraria, en la que la prueba correcta nunca elige una base? ¿O es el caso de que uno puede argumentar de forma muy general que cualquier prueba hecha de una manera puede ser fácilmente trasladada al otro escenario? ¿Hay ejemplos de pruebas en las que la única prueba conocida dependa de la elección de una base?

Answer 1

Sólo para lanzar una idea (en la que sin duda se hundirá de forma fortuita) - la primera prueba que me mostraron de que la transformada de Fourier en L^1(R) tiene una extensión continua única a un operador unitario en L^2(R) se hizo comprobando en funciones propias adecuadas (es decir, se ha elegido una base para L^2(R)).

Nada de esto refuta las observaciones anteriores sobre la necesidad de evitar una elección de base; sólo diría (como creo que ya se ha insinuado) que cuando elegido juiciosamente Las bases pueden ser bastante útiles.

(También tengo la impresión de que en el estudio de los espacios de Banach clásicos, además de los principios generales libres de coordenadas del análisis funcional lineal, realmente hay que andar con bases).

Answer 2

Aunque la primera definición de "dimensión finita" suele ser "hay una base finita", ésta no es la única forma de caracterizar los espacios vectoriales de dimensión finita y, a menudo, una forma diferente de caracterizarlos puede conducir a un enunciado y una demostración más elegantes del teorema en cuestión.

1. Un espacio vectorial es de dimensión finita si es isomorfo a algún espacio euclidiano. Esto se acerca bastante a la noción de base y es obvio que elegir tal isomorfismo equivale a elegir una base. Sin embargo, explica una de las funciones de las bases, tal como se explica en la respuesta de Greg: hacer que un espacio vectorial abstracto se parezca a un espacio euclidiano (y, por tanto, hacer que las transformaciones lineales abstractas se parezcan a las matrices).

2. Hay una definición de Todd Trimble en esta pregunta que relaciona la dimensionalidad finita con la dualidad.

3. Una definición que no utiliza la propiedad "existe" (lo que implica que en algún momento podría querer hacer una elección) comienza en la categoría de topológico localmente convexo espacios vectoriales, donde un LCTVS es de dimensión finita si es un espacio nuclear de Banach.

   Esto es particularmente relevante para la definición de la traza, ya que un espacio $V$ es nuclear si todo mapa lineal continuo $V \to E$ , donde $E$ es un espacio de Banach, es clase de rastreo . Por lo tanto, si $V$ es nuclear y de Banach, todo mapa lineal continuo $V \to V$ debe admitir un rastro.

4. Un espacio vectorial es de dimensión finita si su álgebra exterior tiene graduación finita. Además, tiene dimensión $n$ si $\Lambda^n V$ es unidimensional. Por lo tanto, sólo necesitamos saber qué significa 1-dimensional para que esto funcione.

En lo que respecta a la definición de la traza, si se acepta que hay una forma de definir los determinantes que no implica la definición de las bases (digamos, utilizando la potencia exterior superior), entonces se puede definir igualmente la traza diferenciando el determinante:

$$ \frac{\det(I + tA) - 1}{t} \to \operatorname{Tr} A $$

Básicamente, la elección de una base es malvado y sólo debe hacerse cuando nadie te observa y con las debidas precauciones. Más en serio, mi respuesta a la pregunta original "cuándo elegir una base" es:

1. Cuando necesites hacer un cálculo (como dice Greg)
2. Cuando quiera convencer usted mismo que un determinado resultado es verdadero antes de ponerse a la tarea de encontrar una prueba elegante del mismo.

Editar: He pensado en dos razones más para elegir una base:

1. Cuando la pregunta ya es mala.
2. Para evitar los complicados problemas de convergencia en los espacios de Hilbert: básicamente (perdón por el juego de palabras), es muy fácil ver cuándo converge una secuencia en la que los términos son ortogonales entre sí, así que las bases ortonormales (y las familias ortonormales) permiten separar la convergencia complicada de la geometría elegante.

Answer 3

Estoy de acuerdo con la respuesta de Elizabeth y la filosofía de Brian Conrad: evitar las bases en los enunciados de los teoremas si es posible, y utilizarlas con moderación para las pruebas.

En términos más generales, cuando una definición de algo dice que "algo existe" (¡como una base finita!), entonces en algún momento de tu teoría tendrás que "elegir" esencialmente una de esas cosas para completar una prueba.

La definición de "dimensión finita" significa que "existe una base finita", así que realmente no hay forma de evitarlo. Para ilustrar esto, podríamos trabajar con "longitud finita como módulo k" como una definición alternativa equivalente de espacio vectorial de dimensión finita, pero esto sólo significa "existe una cadena máxima finita de subespacios vectoriales", y lo que se encuentra es que en algún momento de los fundamentos hay que "elegir" tal cadena para completar una prueba.

Editar: No estoy sugiriendo aquí que no haya caracterizaciones equivalentes de los espacios vectoriales de dimensión finita; más bien, estoy afirmando que demostrar algunas de las propiedades de los espacios vectoriales de dimensión finita implicará la existencia de "elecciones" de una u otra manera (como ejemplo trivial, la propiedad de tener una base finita). Por supuesto, hacer esta afirmación rigurosa y demostrarla sería mucho trabajo, pero desgraciadamente creo que lo mismo ocurre con su negación.

Answer 4

Dejemos que $K$ sea un campo y $V$ a $K$ -espacio vectorial de dimensión infinita $\aleph$ (algún cardinal infinito). Entonces el dual $V^*$ de $V$ tiene dimensión $(Card K)^\aleph$ [que es mucho más grande que $\aleph$ y, en particular, demuestra que $V^*$ no es isomorfo a $V$ ].

Así lo afirma Bourbaki en su Álgebra I, capítulos 1-3 , ejercicio 3 para el capítulo 2 §7, página 400 (la referencia es a la traducción inglesa de Springer), donde el resultado se atribuye a Erdös-Kaplansky.

En las pistas de este ejercicio, Bourbaki hace un gran uso de las bases (¿pero qué es la dimensión?) y esto podría ser relevante para la pregunta de Steve.

Answer 5

Yo haría un paralelismo con la homología de los colectores. Hay básicamente dos tipos de construcciones: o bien introduces algo arbitrario (por ejemplo, una triangulación) y luego demuestras que esta elección no importa, o bien empiezas con algo increíblemente grande (por ejemplo, todos los mapas de las símplices a tu espacio) y luego haces un cociente para dejar vivir sólo lo que realmente te importa. Yo no diría que una forma es intrínsecamente mejor, ambas tienen ventajas e inconvenientes.

No soy de los que como usando coordenadas, pero debo confesar que a veces es el camino correcto. Diría más: a menudo, introducir una elección arbitraria y luego mostrar que no importa es hermoso, como en el ejemplo anterior.

Para que estas reflexiones aleatorias respondan parcialmente a algunas de las preguntas formuladas, permítanme que intente dar un enunciado en el que "la prueba "correcta" requiera elegir una base ": en un espacio de dimensión finita, la traza de un proyector (es decir, un endomorfismo $E$ tal que $E^2=E$ ) es un número entero. Para los que propusieron definir la traza sin usar coordenadas ni bases: Me encantaría que me demostraran que estoy equivocado con una prueba ordenada y sin coordenadas de este hecho en los comentarios.