¿Cuándo elegir una base?

Question

La elección de una base específica suele verse con desdén cuando se hacen afirmaciones sobre cantidades independientes de la base. Por ejemplo, se podría definir la traza de una matriz como la suma de los elementos diagonales, pero muchos matemáticos nunca considerarían esa definición, ya que presupone la elección de una base. Sin embargo, para alguien que trabaje en algoritmos, ésta podría ser una perspectiva muy natural.

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de elegir una base específica? ¿Hay alguna situación en la que la prueba "correcta" requiera la elección de una base? (Me refiero a una prueba con la mayor claridad y perspicacia -- esto es subjetivo, por supuesto). ¿Y la situación contraria, en la que la prueba correcta nunca elige una base? ¿O es el caso de que uno puede argumentar de forma muy general que cualquier prueba hecha de una manera puede ser fácilmente trasladada al otro escenario? ¿Hay ejemplos de pruebas en las que la única prueba conocida dependa de la elección de una base?

Answer 1

Si nos limitamos al campo del álgebra lineal, mi punto de vista personal, que no quiero imponer a nadie, es que nunca hay que usar bases, matrices o coordenadas.

La razón principal es que se pierde la intuición geométrica cada vez que se introduce una base, y la intuición geométrica en el álgebra lineal es extremadamente importante para mí, no sólo en las definiciones sino también en los teoremas y sus demostraciones.

Cuando aprendí álgebra lineal me aseguré de entender el significado geométrico de cada definición, teorema y prueba. Por ejemplo, un elemento de un espacio vectorial es un vector o un subespacio unidimensional con una métrica orientada, un elemento del espacio vectorial dual es un hiperplano con una métrica orientada en su "complemento", es decir, el espacio factorial, un elemento del álgebra exterior es una suma formal de subespacios vectoriales (la dimensión es igual al grado) dotados de métricas orientadas, un elemento del álgebra exterior del espacio dual es una suma formal de subespacios vectoriales (la codimensión es igual al grado) con una métrica orientada en su "complemento", es decir, el espacio factorial, el producto exterior de dos elementos del álgebra exterior es la suma directa de los espacios correspondientes (o cero si tienen intersección no trivial) con la elección obvia de una métrica orientada, el producto interior de un elemento del álgebra exterior y un elemento del álgebra exterior dual es la intersección o la suma (depende del tipo de producto interior) de los correspondientes subespacios con la elección obvia de una métrica orientada, la estrella de Hodge es un caso particular de la construcción anterior (si tienes un subespacio con una métrica orientada y también una métrica orientada en todo el espacio entonces puede producir canónicamente una métrica orientada en el "complemento", es decir, el espacio del factor), la traza y el determinante también tienen un significado geométrico obvio en este marco, etc., etc.

Todo esto es totalmente riguroso y todos los teoremas y sus demostraciones se vuelven triviales una vez que se tiene una intuición geométrica para todas las definiciones, y no necesitas bases, coordenadas o matrices, incluso cuando demuestres algo.

Irónicamente, la mejor fuente de intuición geométrica en álgebra lineal para mí fue el Álgebra de Bourbaki, a la que a menudo se le reprocha su abstracción. En realidad es la única fuente que conozco que explica (indirectamente) el significado geométrico del álgebra exterior (por favor, dime si conoces otras fuentes).

Tengo muchas ganas de ver un libro de texto suficientemente avanzado sobre álgebra lineal que al menos incluya todas las nociones mencionadas anteriormente (y muchas otras, por supuesto) y satisfaga las dos condiciones siguientes: (1) Que explique el significado geométrico de cada una de las definiciones, teoremas y demostraciones (o que las exponga de tal manera que su geometría no se vea afectada). de manera que su significado geométrico sea evidente); (2) Nunca utiliza bases, coordenadas o matrices y ni siquiera define estas nociones.

Answer 2

Una de las respuestas a tu pregunta ya está insinuada en la misma. A nivel de algoritmos, los espacios vectoriales independientes de las bases no existen realmente. Si quieres calcular un mapa lineal $L:V \to W$ Entonces no se está calculando nada a menos que ambos $V$ y $W$ tienen una base. Este es un recordatorio útil en nuestra área, la computación cuántica, que ha surgido en la discusión con uno de mis estudiantes. En ese contexto, un algoritmo cuántico podría calcular $L$ como un operador unitario entre espacios de Hilbert $V$ y $W$ . Pero los espacios de Hilbert tienen que implementarse en qubits, lo que implica una base computacional. Así que, de nuevo, no se está computando nada a menos que ambos espacios de Hilbert tengan bases ortonormales distinguidas. El recordatorio es quizá más útil desde el punto de vista cuántico que desde el clásico, ya que todavía no existen ordenadores cuánticos serios.

Por otra parte, cuando se demuestra un teorema independiente de la base, casi nunca es esclarecedor (al menos para mí) elegir bases para los espacios vectoriales. La razón tiene que ver con la tipificación de datos: Es mejor escribir las fórmulas de manera que los dos lados de una ecuación incorrecta no sean ni siquiera del mismo tipo. En el álgebra, hay una tendencia a utilizar las bases con la mayor moderación posible. Por ejemplo, está muy extendido el uso de descomposiciones de suma directa y de tensor como forma de tener bases parciales.

Creo que tu pregunta sobre ejemplos de pruebas no puede tener una respuesta explícita. Ningún resultado independiente de la base necesita una base y, sin embargo, todos lo hacen. Si tienes una razón para romper y elegir una base, significa que el formalismo independiente de la base es incompleto. Por otro lado, cualquier cosa que se utilice para construir ese formalismo (como la definición de determinante y traza y el hecho de que sean independientes de la base) necesita una base.

Hay una excepción a la cuestión de los algoritmos. Un paquete de matemáticas simbólicas puede tener una capa de teoría de categorías en la que los espacios vectoriales no tienen bases. De hecho, la definición de objetos en categorías es una gran parte del interés de los paquetes modernos de matemáticas simbólicas como Magma y SAGE.

Answer 3

En mi opinión, no hay absolutamente nada de malo en escoger una base siempre que exista y su uso haga más comprensible la prueba. Personalmente, prefiero una prueba que utilice una base elegida arbitrariamente (o convenientemente) a una prueba que evite las bases a costa de elevar el nivel de abstracción hasta el cielo. La definición de un espacio de dimensión finita en el post al que se refiere Reid Barton puede hacer que casi cualquier estudiante de álgebra lineal salga corriendo hacia la noche gritando. Podemos disfrutar del "formalismo independiente" e incluso encontrarlo "esclarecedor", pero para un enorme grupo de usuarios de álgebra lineal de dimensión finita que hay por ahí las consideraciones "dependientes de las bases" son las más comprensibles.

Answer 4

Brian Conrad tiene un folleto (pdf) en el que habla de los mapas tensoriales. En él señala que se deben construir mapas independientemente de las bases, pero que para demostrar las propiedades de dichos mapas tiene sentido elegir bases o conjuntos de extensión.

Creo que esto es aplicable en general: me parece que la elección de las bases debería ser la última parte de tu trabajo en un problema, y que en su mayor parte entra en el nivel de computación. Las bases proporcionan una estructura útil a un espacio vectorial que permite empezar en alguna parte, y las pruebas pueden ser más fáciles de hacer con ellas. Pero si eliges una base demasiado pronto, tienes que llevarla durante todo el problema, y puede que tengas que demostrar cómo se transforma. ¿Quizás se puedan proponer ideas y pruebas utilizando bases, y luego editarlas para mostrar lo que realmente sucede a nivel de mapas?

En clase hemos construido recientemente el determinante de una transformación lineal $T:V\rightarrow V$ sobre y $n$ -espacio vectorial V, y para ello definimos la potencia exterior y utilizamos el hecho de que $T$ se convirtió en la multiplicación por un escalar en $\wedge^n(V)$ . Por supuesto, demostramos que dada una base $v_1, ...v_n$ de $V$ , se haría el elemento de base único $v_1\wedge\ldots\wedge v_n$ de $\wedge^n(V)$ y lo utilizó para dar la fórmula combinatoria del determinante. Pero las propiedades del determinante son invariantes bajo el cambio de base, así que no las probamos usando una base.

Answer 5

Un ejemplo en el que debería "elegir" una base para sus pruebas es cuando hay una elección obvia de base, por ejemplo, álgebras de grupos y álgebras de caminos (los caminos en un diagrama de Bratteli dan una base ortonormal para un espacio de Hilbert).

El subfactor equivalente a una base se denomina base Pimsner-Popa. Hasta ahora no hay manera de definir el álgebra plana canónica asociada a un subfactor sin elegir una base (aunque el resultado es independiente de la elección).

Otro ejemplo de la "prueba correcta" que requiere escoger una base es la prueba de Michael Burns de que la rotación es periódica en los conmutadores relativos de un índice finito $II_1$ -subfactor. Hay una forma de mostrar esta base de forma independiente (véase Álgebras planas I, arXiv:math/9909027, páginas 84-85), pero el tratamiento de Burns es más elegante.