Acabo de empezar a hacer ecuaciones diferenciales y estoy tratando de entender la idea básica de dN/dt = kN. Entiendo todo el proceso de resolución de una ecuación diferencial (la separación de variables, aislar N, encontrar k, etc...) y me estoy volviendo competente en ello. Sin embargo, lo único que todavía me cuesta entender es por qué decimos que dN/dt = kN para empezar.
Los ejemplos utilizados en mi libro de texto:
Descomposición radiactiva . Después de 3 días, el 50% de la radiactividad producida por una explosión nuclear ha desaparecido. ¿Cuánto tiempo tarda en desaparecer el 99% de esta radiactividad? La tasa de variación de la masa de nuestra sustancia es negativa, y es proporcional en cada momento a la masa de la sustancia en ese momento. Esta afirmación significa que si x = x(t) es la masa de la sustancia radiactiva en el momento t, entonces dx/dt = -kx (k > 0).
Crecimiento de la población . Consideremos un cultivo de bacterias en un laboratorio con alimento ilimitado y sin enemigos. Si N = N(t) denota el número de bacterias presentes en el momento t, es natural suponer que la tasa de cambio de N es proporcional al propio N, o dN/dt = kN (k > 0). Si el número de bacterias presentes al principio es N_0, y este número se duplica después de 2 horas (el "tiempo de duplicación"), ¿cuántas hay después de 6 horas? ¿Después de t horas?
En estos problemas siempre está presente la idea de que la tasa de cambio de _____ es proporcional en cada momento del tiempo a _______ en ese momento, o dN/dt = kN. Tanto matemática como intuitivamente, ¿por qué es "natural suponer" esta relación? ¿Qué propiedad matemática (si es que hay alguna) lo dicta?
P.D. También vale la pena señalar que no sé nada sobre el crecimiento de la población fuera del contexto de las ODEs que he estado resolviendo.
