¿Refutó Deborah Mayo la prueba del principio de probabilidad de Birnbaum?

Question

Esto tiene cierta relación con mi pregunta anterior: ¿Un ejemplo en el que el principio de probabilidad *realmente* importa?

Al parecer, Deborah Mayo publicó un documento en Ciencia estadística refutando la prueba de Birnbaum del principio de probabilidad. ¿Puede alguien explicar el argumento principal de Birnbaum y el contraargumento de Mayo? ¿Tiene ella razón (lógicamente)?

Answer 1

En pocas palabras, el argumento de Birnbaum es que dos principios ampliamente aceptados implican lógicamente que el principio de probabilidad debe ser válido. El contraargumento de Mayo es que la prueba es errónea porque Birnbaum utiliza mal uno de los principios.

A continuación simplifico los argumentos hasta el punto de que no son muy rigurosos. Mi propósito es hacerlos accesibles a un público más amplio porque los argumentos originales son muy técnicos. Los lectores interesados deben ver el detalle en los artículos enlazados en la pregunta y en los comentarios.

En aras de la concreción, me centraré en el caso de una moneda con sesgo desconocido $\theta$ . En el experimento $E_1$ lo volteamos 10 veces. En el experimento $E_2$ lo volteamos hasta obtener 3 "colas". En el experimento $E_{mix}$ lanzamos una moneda justa con las etiquetas "1" y "2" en cada cara: si sale un "1" realizamos $E_1$ si sale un "2" realizamos $E_2$ . Este ejemplo simplificará mucho la discusión y mostrará la lógica de los argumentos (las pruebas originales son, por supuesto, más generales).

Los principios:

Los dos principios siguientes son ampliamente aceptados:

El principio de condicionalidad débil dice que debemos sacar las mismas conclusiones si decidimos realizar el experimento $E_1$ o si decidimos realizar $E_{mix}$ y la moneda sale "1".

El principio de suficiencia dice que debemos sacar las mismas conclusiones en dos experimentos en los que una estadística suficiente tiene el mismo valor.

El siguiente principio es aceptado por los bayesianos pero no por los frecuentistas. Sin embargo, Birnbaum afirma que es una consecuencia lógica de los dos primeros.

El principio de probabilidad dice que deberíamos sacar las mismas conclusiones en dos experimentos en los que las funciones de probabilidad son proporcionales.

Teorema de Birnbaum:

Digamos que realizamos $E_1$ y obtenemos 7 "caras" de cada diez lanzamientos. La función de probabilidad de $\theta$ es ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$ . Realizamos $E_2$ y hay que lanzar la moneda 10 veces para obtener 3 "colas". La función de probabilidad de $\theta$ es ${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$ . Las dos funciones de probabilidad son proporcionales.

Birnbaum considera la siguiente estadística sobre $E_{mix}$ de $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ a $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ : $$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ donde $x$ y $y$ son los números de "cara" y "cruz", respectivamente. Así que no importa lo que pase, $T$ informa del resultado como si procediera de un experimento $E_1$ . Resulta que $T$ es suficiente para $\theta$ en $E_{mix}$ . El único caso que no es trivial es cuando $x = 7$ y $y = 3$ donde tenemos

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}\\=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}\text{, a value that is independent of } \theta.$$ Todos los demás casos son 0 o 1, excepto $P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$ que es el complemento de la probabilidad anterior. La distribución de $X_{mix}$ dado $T$ es independiente de $\theta$ Así que $T$ es una estadística suficiente para $\theta$ .

Ahora, según el principio de suficiencia, debemos concluir lo mismo para $(1,x,y)$ y $(2,x,y)$ en $E_{mix}$ y a partir del principio de condionalidad débil, debemos concluir lo mismo para $(x,y)$ en $E_1$ y $(1,x,y)$ en $E_{mix}$ así como para $(x,y)$ en $E_2$ y $(2,x,y)$ en $E_{mix}$ . Así que nuestra conclusión debe ser la misma en todos los casos, que es el principio de probabilidad.

La prueba de Mayo es a prueba de golpes:

El montaje de Birnbaum no es un experimento de mezcla porque el resultado de la moneda etiquetada como "1" y "2" no fue observado por lo que no se aplica el principio de condicionalidad débil a este caso .

Haz la prueba $\theta = 0.5$ frente a $\theta > 0.5$ y sacar una conclusión a partir del valor p de la prueba. Como observación preliminar, observe que el valor p de $(7,3)$ en $E_1$ viene dada por la distribución binomial como aproximadamente $0.1719$ el valor p de $(7,3)$ en $E_2$ viene dada por la distribución binomial negativa como aproximadamente $0.0898$ .

Aquí viene lo importante: el valor p de $T=(1,7,3)$ en $E_{mix}$ se da como la media de los dos -recuerda que no conocemos el estado de la moneda-. es decir aproximadamente $0.1309$ . Sin embargo, el valor p de $(1,7,3)$ en $E_{mix}$ -donde se observa la moneda- es la misma que en $E_1$ , es decir aproximadamente $0.1719$ . El principio de condicionalidad débil se mantiene (la conclusión es la misma en $E_1$ y en $E_{mix}$ donde la moneda sale "1") y sin embargo el principio de probabilidad no lo hace. El contraejemplo refuta el teorema de Birnbaum.

La refutación de Peña y Berger a la contraprueba de Mayo:

Mayo cambió implícitamente el enunciado del principio de suficiencia: interpreta "mismas conclusiones" como "mismo método". Tomar el valor p es un método de inferencia, pero no una conclusión. Esto es importante porque un agente puede llegar a conclusiones idénticas incluso cuando dos valores p son diferentes. Esto no se entiende en el sentido de que acepte la hipótesis nula si el valor p es 0,8 o 0,9, sino en el sentido de que los dos valores p de Mayo se calculan a partir de experimentos diferentes (espacios de probabilidad diferentes con resultados diferentes), por lo que con esta información a mano puede sacar la misma conclusión aunque los valores sean diferentes.

El principio de suficiencia dice que si existe una estadística suficiente, entonces las conclusiones deben ser las mismas, pero no requiere que se utilice la estadística suficiente en absoluto. Si lo hiciera, llevaría a una contradicción, como demuestra Mayo.

Answer 2

Aunque es interesante determinar la validez de la prueba de Birnbaum (1962) de que el principio de suficiencia (SP) y una de las versiones del principio de condicionalidad (CP) implican conjuntamente el principio de probabilidad (LP), creo que hay un problema más profundo con el teorema. En concreto, el CP no puede justificarse desde la perspectiva de la inferencia condicional. El razonamiento es el siguiente.

Fisher proporcionó una serie de ejemplos que mostraban que el condicionamiento a una estadística auxiliar era un enfoque razonable. El PC es el resultado de extrapolar este pequeño número de ejemplos a un principio que nos obliga a siempre condición en un auxiliar cuando existe uno. La pregunta es: ¿se trata de un caso de extrapolación injustificada? Yo creo que sí. Consideremos primero el argumento intuitivo del ejemplo de la mezcla. Informalmente, (a partir de Giere 1977), el principio de condicionalidad débil (PCD) reclama la "irrelevancia de los experimentos (componentes) no realizados realmente" mientras que el LP reclama "la irrelevancia de los resultados no observados realmente". Es fácil ver el atractivo intuitivo del WCP cuando se describe de esta manera. Sin embargo, el PCM también podría describirse de manera informal como la reivindicación de "la irrelevancia de algunos resultados no observados realmente". Los frecuentadores se preocupan por utilizar un conjunto de referencia adecuado, pero ¿cómo sabemos que el condicionamiento de esta variable auxiliar proporciona el mejor conjunto de referencia que se puede utilizar? La respuesta es que no lo sabemos.

Para ver esto, imagine un modelo de mezcla con dos auxiliares, A y B, donde A es el lanzamiento de la moneda en el experimento de mezcla y donde el condicionamiento sobre A conduce a inferencias mucho más débiles que el condicionamiento sobre B. El auxiliar B refleja una partición del espacio de la muestra a través de ambos experimentos de componentes. Por lo tanto, el condicionamiento sobre B es preferible a A en el modelo de mezcla, pero no está disponible para su uso en el condicionamiento de ninguno de los dos experimentos de componentes. El WCP no sólo fallará en este caso especial, sino que anuncia un problema más común. Perturbe ligeramente este primer modelo de mezcla de forma que A siga siendo auxiliar pero B sea ahora sólo aproximadamente auxiliar. Se seguirá prefiriendo condicionar a B en lugar de A, aunque A sea el único auxiliar en el problema modificado. En resumen, los principios de condicionalidad no pueden justificarse porque puede haber mejores estadísticas para condicionar que las auxiliares. [El comentario de Cox sobre el documento auxiliar de Buehler (1982) discute la necesidad de que las formas de inferencia sean robustas a pequeñas perturbaciones de la especificación del modelo. El WCP no pasa esta prueba].

Por último, a modo de apunte, un poco de historia que suele pasarse por alto en las discusiones sobre el teorema de Birnbaum. Giere (1977) informa de que Birnbaum rechazó el Principio de Verosimilitud a los dos años de la publicación de su teorema. Birnbaum abandonó el LP a favor de lo que llamó el concepto de confianza en su artículo de 1969.