Estoy tratando de entender por qué dado un campo infinito $\mathbb{k}$ , $\mathbb{k}[t]$ el campo de las funciones racionales en una variable está generado finitamente como campo, pero no como álgebra sobre $\mathbb{k}$ .
¿Qué significa "ser generado finitamente como un campo"?
El álgebra polinómica $\Bbb k[x]$ es generado (libremente) por el único elemento $x$ como $\Bbb k$ -Álgebra.
Del mismo modo, el campo $\Bbb k(t)$ es generado por un único trascendente $t$ en $\Bbb k$ .
Sin embargo, como $\Bbb k$ -no está generada finitamente:
Considere cualquier lista finita de funciones racionales $r_i:=f_i(t)/g_i(t)$ y tomar un elemento $a\in\Bbb k$ que no es una raíz de ninguno de $g_i$ 's.
Entonces, todos los elementos de la subálgebra generada por $r_i$ sólo tienen productos de $g_i(t)$ en el denominador, por lo que $\frac1{t-a}$ no está entre ellos.
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