Resistencia de la esfera metálica hueca

Question

Una esfera metálica hueca tiene radios interiores y exteriores $a$ y $b$ respectivamente. Cómo calcular su resistencia entre dos puntos a $A$ (en la superficie interior) y un punto $B$ (en la superficie exterior)? La resistividad del metal es $r$ .

¿Cuál es el enfoque más sencillo para este problema? ¿Es posible calcular sin usar la integración? ¿Cómo aplicar la integración a este problema? ¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Como Michael ya ha señalado que el problema, tal y como está planteado, no tiene respuesta, responderé en su lugar a una pregunta diferente: si tenemos una cáscara esférica resistiva con radio interior $a$ , radio exterior $b$ y la resistividad de la masa $\rho$ y las superficies de esta cáscara están recubiertas con una capa conductora, ¿cuál es la resistencia entre la superficie interior y la exterior?

Ahora podemos dividir el problema en una simple integración. Imaginemos que la cáscara está formada por cáscaras infinitesimales de radio $r$ y con grosor $\delta r$ . La misma corriente $I$ tiene que fluir a través de cada cáscara consecutiva (conservación de la carga) por lo que deberíamos ser capaces de calcular la resistencia de esta cáscara. Como todas las envolturas están en serie, podemos integrar la expresión para obtener la resistencia total. Aquí lo tenemos:

Área de la concha:

$$A = 4\pi r^2$$

Resistencia

$$\delta R = \frac{\rho \delta r}{A} = \frac{\rho \delta r}{4\pi r^2}$$

Resistencia total:

$$R = \int_a^b \frac{\rho dr}{4\pi r^2} = \frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$

Por cierto se puede ver que si $a$ llega a cero, esta resistencia se convierte en infinita - al igual que cuando la superficie de contacto del punto es realmente un "punto" como parece ser en su pregunta.

Answer 2

Si realmente quiere decir "puntos", vea la respuesta a esta pregunta. Básicamente, la lógica es la siguiente:

• Si se intenta inyectar una corriente finita en un "punto" de un bulto, se producirá necesariamente una densidad de corriente divergente $\vec{J}$ en una vecindad de ese punto, proporcional a $r^{-2}$ (donde $r$ es la distancia al punto de inyección).
• Una densidad de corriente divergente $\vec{J}$ implica un campo eléctrico divergente $\vec{E}$ a través de la Ley de Ohm microscópica $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ .
• $\vec{E} = - \nabla V$ . Como el campo eléctrico es proporcional a $r^{-2}$ el potencial divergirá a medida que nos acerquemos al punto de inyección (proporcionalmente a $r^{-1}$ ).
• Así, la diferencia de potencial $V$ entre los puntos es infinito para una corriente finita $I$ .
• Así, $R = V/I$ es infinito.

Para evitarlo, hay que especificar el tamaño de los electrodos, y la respuesta dependerá de la geometría exacta. La respuesta es bastante fácil cuando los "electrodos" son toda la superficie interior y exterior (como ha mostrado @Floris); pero cualquier otra configuración es mucho más difícil de abordar.

EDITAR: Nótese que el argumento anterior implica que para electrodos suficientemente pequeños, la resistencia será en general inversamente proporcional al tamaño del electrodo. (Esto se debe a que la diferencia de potencial será inversamente proporcional al tamaño del electrodo). El significado de "suficientemente pequeño" dependerá, por supuesto, de la geometría precisa en cuestión.