Tamaños de los modelos "casi amorfos"

Question

Digamos que una estructura $\mathcal{M}$ es amorfo si para cada finito $\overline{a}\in\mathcal{M}$ y bi-infinito $X\subseteq\mathcal{M}$ hay algún automorfismo $\alpha\in Aut(\mathcal{M})$ fijación de $\overline{a}$ con el punto de vista, pero sin respetar $X$ (es decir, o bien $\alpha[X]\not=X$ o $\alpha[\mathcal{M}\setminus X]\not=\mathcal{M}\setminus X$ ). Una estructura amorfa puede "recibir una copia amorfa" en una extensión simétrica del universo; precisamente, existe una extensión simétrica $V\subset N\subset V[G]$ y una estructura $\mathcal{A}\in N$ tal que $\mathcal{A}$ El conjunto subyacente es amorfo en $N$ pero $V[G]\models\mathcal{A}\cong\mathcal{M}$ .

Ahora digamos que una teoría completa contable $T$ es $\kappa$ -si existe un $\mathcal{M}\models T$ con $\vert\mathcal{M}\vert=\kappa$ y amorfo si $T$ es $\kappa$ -amorfo para algunos $\kappa$ . Por ejemplo, la teoría del vacío es trivial $\kappa$ -amórfico para cada $\kappa$ . Tengo curiosidad por saber qué implicaciones existen entre las distintas amorfidades. Para empezar, mi pregunta principal es:

¿Implica amorfo $\omega$ -¿Amórfico?

Tenga en cuenta que $\omega$ -amorfosis es un $\Sigma^1_3(L_\omega)$ propiedad, mientras que a primera vista la amorfidad es $\Sigma^0_2(V)$ Así que esto sería una gran mejora en cuanto a la complejidad de la amorfidad. Recuerdo vagamente un resultado negativo debido a Shelah aquí, pero no puedo encontrarlo (y "debido a Shelah" no reduce mucho el espacio de búsqueda).

Answer 1

La amorfidad implica una fuerte minimidad y $\omega$ -que, en conjunto, implican $\kappa$ -amorfosis para cualquier $\kappa$ .

Supongamos que $T$ es amorfo. Para ver que $T$ es $\omega$ -categórica, procedemos por inducción. Es evidente que el espacio de tipos $S_1(T)$ debe ser finito, de lo contrario podríamos formar un conjunto bi-infinito $\bigvee$ -definible sobre un conjunto finito de parámetros, lo que estropearía la amorfidad de cualquier modelo de $T$ . Ahora supongamos que sabemos que $S_n(T)$ es finito. Supongamos, por si acaso, que $S_{n+1}(T)$ es infinito. Entonces debe haber algún tipo $p(\bar{x}) \in S_n(T)$ con infinitas extensiones a un $(n+1)$ -tipo. Dado que $S_n(T)$ es finito, $p(\bar{x})$ debe realizarse en cualquier modelo de $T$ . Fijar un modelo $\mathcal{M}$ y que $\bar{a}$ realizar $p(\bar{x})$ . Si hay alguna fórmula $\varphi(x,\bar{a})$ tal que $\varphi(\mathcal{M},\bar{a})$ es bi-infinito, entonces tenemos un fallo de amorfidad, así que supongamos que para cada fórmula $\varphi(x,\bar{y})$ , $\varphi(\mathcal{M},\bar{a})$ es finito o cofinito. Como hay infinitas extensiones de $p(\bar{x})$ a un $(n+1)$ -tipo, debemos tener que $S_1(\bar{a})$ es infinito y disperso (es decir, tiene rango ordinal de Cantor-Bendixson o equivalentemente no contiene ningún subconjunto perfecto), pero esto implica que hay infinitos puntos aislados en $S_1(\bar{a})$ por lo que podemos formar de nuevo un conjunto bi-infinito $\bigvee$ -definible sobre un conjunto finito de parámetros, lo que estropea la amorfidad. Por lo tanto, debe darse el caso de que $S_{n+1}(T)$ es finito, y por tanto por inducción tenemos que $S_n(T)$ es finito para todo $n < \omega$ . Así que por el teorema de Engeler-Ryll-Nardzewski-Svenonius, $T$ es $\omega$ -categórico.

Está claro que si $\mathcal{M}$ es amorfo, entonces no puede tener subconjuntos definibles bi-infinitos, ya que cualquier subconjunto definido por una fórmula $\varphi(x,\bar{a})$ habría $\bar{a}$ presenciando el fracaso de la amorfidad. Así que tenemos que $\mathcal{M}$ es mínimo. Finalmente, $\omega$ -Las teorías categóricas eliminan el cuantificador $\exists^\infty$ (es decir, para cualquier fórmula $\varphi(\bar{x},\bar{y})$ existe una fórmula $\psi(\bar{y})$ tal que para cualquier $\bar{a}$ , $\varphi(\bar{x},\bar{a})$ tiene infinitas soluciones si y sólo si $\psi(\bar{a})$ se mantiene) y los conjuntos mínimos son siempre fuertemente mínimos en tales teorías, por lo que $T$ es fuertemente mínima.

Para ver que la minimalidad fuerte y $\omega$ -categoricidad implica $\kappa$ -amorfosis para cualquier $\kappa$ , nótese que cualquier teoría de este tipo es totalmente categórica y, por tanto, tiene todos los modelos saturados. Los modelos saturados son homogéneos, por lo que los únicos conjuntos invariantes de automorfismo sobre una tupla finita son los realmente definibles sobre ella.