La primera pregunta que debemos hacernos es: ¿qué es un estado de una partícula en una teoría que interactúa? Es razonable exigir que sean estados que sean a la vez estados propios de momento y estados propios de energía. (De hecho, como el hamiltoniano y el operador de momento conmutan, no son dos condiciones diferentes). Weinberg, en su famoso libro de texto, dice que los estados de las partículas son aquellos que se transforman bajo una representación irreducible del grupo de Poincare, pero aquí no necesitamos complicarnos con el grupo de Poincare.
Todo lo que diremos es que, en la teoría interactiva, hay algunos estados de una sola partícula, etiquetados por
$$|\lambda k \rangle$$
où $k$ es el cuatro-momento, y $\lambda$ es cualquier otra etiqueta que necesitemos para nuestras partículas. (En esta respuesta trabajaré sólo con un campo escalar real, pero incluso en el caso de espín 0 puede haber datos adicionales que distingan nuestras partículas en una teoría que interactúe).
Ahora, sabemos que tenemos un conjunto de estados propios de momento y energía $|\lambda k\rangle$ que representan las partículas estables de nuestra teoría. Ahora podemos "difuminar" estos estados de momento definido en paquetes de onda, utilizando una función ventana gaussiana $f_W$ que tiene cierta incertidumbre de impulso $\kappa$ . Denotaremos estos estados propios aproximados de energía y momento con un subíndice $W$ por "ventana".
$$|\lambda k\rangle_W \equiv \int d^3{\mathbf{k}'} f_W(\mathbf{k} - \mathbf{k}') |\lambda k\rangle$$
Volveremos a hablar de ellos.
Ahora, el vacío libre $|0\rangle$ de $\hat H_0$ y el verdadero vacío $|\Omega\rangle$ de $\hat H = \hat H_0 + \hat H_{\rm int}$ son estados muy diferentes. Las partículas en la teoría interactiva deben definirse, en efecto, como formadas a partir de la acción del "operador de creación" sobre el vacío verdadero, siempre que definamos adecuadamente lo que entendemos por "operador de creación" en la teoría interactiva.
Para crear una aniquilación de partículas, utilizaremos el producto interno de Klein Gordon. (Suprimimos $\hbar$ y $c$ .)
$$(\psi_1, \psi_2)_{KG} \equiv i \int d^3 x (\psi^*_1 \partial_t \psi_2 - \partial_t \psi^*_1 \psi_2)$$
La motivación para definir esto es que en la teoría FREE, el producto interno de Klein Gordon nos da un producto interno entre estados de una sola partícula. Si tenemos dos estados de una sola partícula (en la teoría libre) $|\Psi_1\rangle$ y $|\Psi_2 \rangle$ tenemos
$$\langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle = ( \psi_1, \psi_2 )_{KG}$$
donde utilizamos las "funciones de onda de una sola partícula" de los estados definidos por
$$\psi_i(x) \equiv \langle 0| \hat \phi(x) |\Psi_i\rangle$$
Las sutilezas de la teoría del campo libre provienen del álgebra simple de los operadores de creación y aniquilación, combinado con el hecho de que el operador de aniquilación aniquila el vacío. Intentaremos recrear esas relaciones utilizando el producto interno de Klein Gordon. Sin embargo, para ello, necesitaremos utilizar paquetes de ondas muy separados.
A partir de aquí, todo estará en la teoría interactiva.
Para una función determinada $\psi$ definimos los operadores de creación y aniquilación que "crean" el estado correspondiente a esa función de onda como sigue. $$ \hat a^\dagger_i (t) \equiv -\big( \psi^*_i(t, \cdot), \hat \phi(t, \cdot) \big)_{KG} $$ $$\hat a_i(t) = \big( \psi_i(t, \cdot), \hat \phi(t, \cdot) \big)_{KG}$$
(En la teoría libre, este operador de creación crearía literalmente el estado de una sola partícula con la función de onda de una sola partícula $\psi_1$ .)
(Algo que debo mencionar sobre estos operadores es su evolución temporal. Es un punto de confusión notacional que $\hat a^\dagger_{1}(t)$ depende explícitamente de un tiempo $t$ dado que solemos tener definida una dependencia temporal tal que $e^{i \hat H t} \hat{O}(t') e^{-i \hat H t} = \hat {\mathcal{O}}(t'+t)$ . Este no es el caso aquí).
Ahora, lamentablemente, en la teoría interactiva, el operador de aniquilación definido anteriormente no aniquilará el vacío. Sin embargo, podemos recuperar algo parecido:
$$\langle \Omega| \hat a_1(t) |\Omega\rangle = i \int d^3{x}\langle \Omega| \big( \psi_1^*(t, \vec x) \partial_t \hat \phi (t, \vec x) - \partial_t \psi_1^*(t, \vec x) \hat \phi(t, \vec x) \big) |\Omega\rangle$$ $$= i \int d^3{x} \big( \psi_1^*(t, \vec x) \partial_t \langle \Omega| \hat \phi(t, \vec x) |\Omega\rangle - \partial_t \psi^*_1(t, \vec x) \langle \Omega| \hat \phi(t, \vec x) |\Omega\rangle \big)$$ $$= i \langle \Omega| \hat \phi(t, \vec x) |\Omega\rangle \int d^3{x} (- \partial_t \psi_1^*(t, \vec x))$$
El hecho de que $\partial_t \langle \Omega| \hat \phi(t, \vec x) |\Omega\rangle = 0$ se deduce directamente del hecho de que el estado de vacío tiene energía cero, por lo que $e^{- i \hat H t} |\Omega\rangle = |\Omega\rangle$ . Ahora como queremos $\langle \Omega| \hat a_1(t) |\Omega\rangle = 0$ para cualquier $\psi_1$ podemos ver que esto se consigue si y sólo si $\langle \Omega| \hat \phi(x) |\Omega\rangle = \langle \Omega| \hat \phi(0) |\Omega\rangle = 0$ . Supondremos que este es el caso.
En la teoría libre, $\langle 0| \hat a_1(t) \hat a_2^\dagger(t) |0\rangle = \langle \Psi_1 | \Psi_2\rangle = (\psi_1, \psi_2)_{KG}$ . En una teoría interactiva, para cualquier $\hat a_1$ y el estado $|\Psi_2\rangle$ (no sólo un estado de una partícula) tenemos
$$\langle \Omega| \hat a_1(t) |\Psi_2\rangle = \langle \Omega| \big( \psi_1(t, \cdot) , \hat \phi(t, \cdot) \big)_{KG}|\Psi_2\rangle$$ $$= \big( \psi_1(t, \cdot), \langle \Omega| \hat \phi(t, \cdot) |\Psi_2\rangle\big)_{KG} $$ $$= \big( \psi_1(t, \cdot), \psi_2(t, \cdot) \big)_{KG}$$
$$\langle\Psi_2| \hat a_1(t) |\Omega\rangle = \big( \psi_1(t, \cdot) , \psi_2^*(t, \cdot) \big)_{KG}$$
¿Recuerdas los estados de una sola partícula? Ahora vamos a considerar la "función de onda de una sola partícula" de esos estados. Es decir, que tienen para ser ondas planas.
$$\langle \Omega| \hat \phi(x) |\lambda k\rangle = C_\lambda e^{-ikx}$$
où $C_\lambda$ es una constante que depende de $\lambda$ .
Ahora queremos ver lo que nuestros estados $\hat a^\dagger_1|\Omega\rangle$ tienen que ver con estos verdaderos paquetes de ondas de partículas $| \lambda k \rangle_W$ . Para ello, veremos cuál es el producto interior de estos dos estados. A partir de nuestro álgebra simple anterior, para un operador de aniquilación $\hat a_{\lambda_1 k_1} = (\psi_{k_1}, \hat \phi)_{KG}$ donde $k_1^2 = m_{\lambda_1}^2$ tenemos
\begin{equation*} \begin{split} \langle \Omega | \hat a_{\lambda_1 k_1} (t) |\lambda_2 k_2\rangle_W = \big( \psi_{ k_1}(t, \cdot), \langle \Omega |\hat \phi(t, \cdot)|\lambda_2 k_2\rangle_W \big)_{KG} = C_{\lambda_2}\big(\psi_{ k_1}(t, \cdot), \psi_{ k_2 }(t, \cdot) \big)_{KG}\\ {}_W \langle \lambda_2 k_2 | \hat a_{\lambda_1 k_1}(t) |\Omega\rangle = \big( \psi_{ k_1}(t, \cdot), {}_W \langle \lambda_2 k_2 |\hat \phi(t, \cdot) |\Omega\rangle \big)_{KG} = C_{\lambda_2}\big(\psi_{ k_1}(t, \cdot), \psi^*_{ k_2 }(t, \cdot) \big)_{KG}. \end{split} \end{equation*} Deseamos que la máxima expresión sea $\propto \delta_{\lambda_1 \lambda_2} \delta^3(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2)$ y que la expresión inferior sea 0. Si este fuera el caso, entonces el único estado de una partícula $\hat a^\dagger_{ k_1}(t) |\Omega\rangle$ se solaparía con sería $|\lambda_1 k_1\rangle$ y $\hat a_{k_1}(t)$ podría seguir "aniquilando" funcionalmente el vacío, aunque tengamos que mantener ${}_W \langle \lambda k |$ a la izquierda. Definición de $\omega_{\lambda k} \equiv (m^2_{\lambda} + \mathbf{k}^2)^\frac{1}{2}$ tenemos
\begin{equation*} \begin{split} \big(\psi_{ k_1}(t, \cdot), \psi_{ k_2 }(t, \cdot) \big)_{KG} = (2 \pi)^3 \int d^3{\mathbf{k}} f_W(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}) f_W(\mathbf{k}_2 - \mathbf{k}) (\omega_{\lambda_1 k} + \omega_{\lambda_2 k})e^{it(\omega_{\lambda_1 k} - \omega_{\lambda_2 k})} \\ \big(\psi_{ k_1}(t, \cdot), \psi_{ k_2 }^*(t, \cdot) \big)_{KG} = (2 \pi)^3 \int d^3{\mathbf{k}} f_W(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}) f_W(\mathbf{k}_2 + \mathbf{k}) (\omega_{\lambda_1 k} - \omega_{\lambda_2 k})e^{it(\omega_{\lambda_1 k} + \omega_{\lambda_2 k})}. \\ \end{split} \end{equation*}
La expresión superior no es $\propto \delta_{\lambda_1 \lambda_2} \delta^3_W(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2)$ y la expresión inferior no es $0$ . Sin embargo, si tomamos $\kappa \ll |\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2|$ y también tomar $t \to \pm \infty$ ¡lo son! Esto depende de nuestra suposición de que $m_{\lambda_1} \neq m_{\lambda_2}$ si $\lambda_1 \neq \lambda_2$ . El $e^{it (\ldots)}$ oscilará salvajemente en ambas integrales si $\lambda_1 \neq \lambda_2$ En la integral superior, esta oscilación no se produce cuando $\lambda_1 = \lambda_2$ . Además, la integral superior será despreciable a menos que $\mathbf{k}_1 = \mathbf{k}_2$ . Tomando la $f_W(\mathbf{k}) \to \delta^3(\mathbf{k})$ y $t \to \pm \infty$ límite, ahora podemos escribir
\begin{equation*} \begin{split} \langle \lambda_2 k_2 | \hat a_{\lambda_1 k_1}^\dagger (\pm \infty) |\Omega\rangle = C_{\lambda_2} (2 \pi)^3 2 \omega_{\lambda_2 k_2} \delta_{\lambda_1 \lambda_2} \delta^3(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2) \\ \langle \lambda_2 k_2 | \hat a_{\lambda_1 k_1} (\pm \infty) |\Omega\rangle = 0. \end{split} \end{equation*} Estas propiedades son aún más importantes de lo que yo mismo he dejado entrever. Esto se debe a que los estados $| \lambda k \rangle$ están definidos de forma tan general: son simplemente estados propios del momento con todos los datos extra necesarios metidos en $\lambda$ . Como diagonalizan el operador de momento, ¡forman una base de todo nuestro espacio de estados! Por lo tanto, podemos ver inmediatamente a partir de la primera ecuación que
$$\hat a^\dagger_{\lambda k}(\pm \infty) |\Omega\rangle = -C_\lambda \big( e^{ikx}, \hat \phi( x)\big)_{KG} |\Omega\rangle \vert_{t = \pm \infty} = | \lambda k \rangle$$ donde hemos elegido la normalización $\langle\lambda k | \lambda' k' \rangle = C_{\lambda}^* C_{\lambda'} (2 \pi)^3 (2 \omega_{\lambda k}) \delta_{\lambda \lambda'} \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}')$ . A partir de la segunda ecuación, podemos ver inmediatamente que
$$\langle\Psi | \hat a_{\lambda k}(\pm \infty) |\Omega\rangle = 0 \hspace{0.15 cm} \text{ for all } \langle\Psi | \hspace{0.5 cm} \Longrightarrow \hspace{0.5 cm} \hat a_{\lambda k}(\pm \infty) |\Omega\rangle = 0.$$ Al parecer, nuestros operadores de creación y aniquilación asintóticos se comportan casi exactamente como nuestros viejos operadores de creación y aniquilación de la teoría libre.
Hay otra propiedad importante que debo mencionar, y es que dos operadores de creación/aniquilación que tienen diferentes $\lambda k$ los datos se desplazarán. Esto es una consecuencia directa del hecho de que nuestros operadores de creación/aniquilación son integrales espaciales ponderadas por paquetes de onda que están espacialmente separados en tiempos grandes. (Para operadores con el mismo $k$ pero diferente $\lambda$ , como $m_\lambda$ es diferente los paquetes de ondas se propagarán a diferentes velocidades y aún así lograrán separarse). Nótese que la separación espacial es una propiedad de los paquetes de ondas pero no de las ondas planas. Este es otro punto en el que es necesario ver las ondas planas como un límite de los paquetes de ondas para entender correctamente su teoría. De hecho, los operadores no conmutarán a menos que se definan con este procedimiento de limitación.
Por fin estamos preparados para definir nuestros estados de multipartículas entrantes y salientes. Como nuestros operadores de creación asintótica sólo cambian el estado básico en regiones espaciales localizadas y cada excitación espacial se llama justificadamente "estado de partícula", podemos decir que actuando con algunos de ellos sobre el estado básico crearemos un estado multipartícula perfectamente bueno. Ahora definiremos nuestro entrante (creado en $t = -\infty$ ) y de salida (creado en $t = + \infty$ ) estados asintóticos multipartícula.
$$ |\lambda_1 k_1, \ldots, \lambda_n k_n\rangle_{\rm in} \equiv \hat a^\dagger_{\lambda_1 k_1}(-\infty) \ldots \hat a^\dagger_{\lambda_n k_n}(-\infty) |\Omega\rangle \\ |\lambda_1 k_1, \ldots, \lambda_n k_n\rangle_{\rm out} \equiv \hat a^\dagger_{\lambda_1 k_1}(+\infty) \ldots \hat a^\dagger_{\lambda_n k_n}(+\infty) |\Omega\rangle$$
Los cuatro momentos $k_i$ tendrá masas $k_i^2 = m_{\lambda_i}^2$ y no $|\lambda_i k_i\rangle$ puede ser igual a otro. Algunas personas prefieren reescalar $\hat \phi$ con el fin de ocultar esos $C_\lambda$ prefactores pero no lo haré. La naturaleza de estos prefactores se estudiará mucho más adelante. Es importante señalar que los momentos totales de estos estados son aproximadamente la suma de todos los $\mathbf{k}_i$ y la energía es aproximadamente la suma de todos los $\omega_{\lambda_i k_i}$ . Esto da más credibilidad a la idea de que se trata de estados "multipartícula".
Ahora que hemos definido con éxito nuestros estados asintóticos de multipartículas entrantes y salientes y hemos deducido algunas propiedades importantes de nuestros operadores de creación y aniquilación asintóticos recién construidos, hemos completado el marco necesario para derivar la fórmula de reducción de LSZ. Utilizando las propiedades definidas aquí, deberías ser capaz de seguir justificadamente los pasos descritos en Srednicki.
Para responder a tu duda 2: Para conseguir que nuestros estados tengan las propiedades adecuadas, necesitábamos que fueran paquetes de ondas muy separados en el pasado y el futuro distantes. Por lo tanto, estos estados sólo son aproximadamente eigenestados de momento y energía (aunque puedes acercarte tanto como quieras). Como no son eigenestados energéticos perfectos, se producirá cierta evolución temporal. Las partículas empezarán muy separadas, se juntarán, interactuarán y luego se irán (diferentes) partículas.
TLDR: Si se definen correctamente los operadores de creación y aniquilación, utilizando el producto interno de Klein Gordon con paquetes de ondas muy separados en el pasado/futuro lejano, se obtendrán los estados reales de las partículas al actuar con estos operadores sobre el vacío real $|\Omega\rangle$ .
