Serie de Dirichlet de la $p$ -valorización de la actividad de la empresa

Question

Recordemos que dado algún primo $q$ El $q$ -valorización de la actividad de la empresa de un número entero $n\geqslant1$ se define como : $$\nu_q(n)=\max\{\nu\geqslant0\;/\;q^\nu|n\}.$$

De la factorización del primo, se deduce que $\nu_q$ es una función completamente aditiva. Sé que las funciones no multiplicativas no suelen comportarse bien con las series de Dirichlet ( $\Lambda$ siendo un contraejemplo de la afirmación sin embargo), pero aun así, me pregunté lo siguiente :

¿Cuál es la serie de Dirichlet de $\nu_q$ ?

Lo que quiero decir es que, de forma similar a $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}=-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)},$$

¿hay alguna bonito fórmula para evaluar $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\nu_q(n)}{n^s}\;?$$

Hasta ahora, no he sido capaz de encontrar nada en la web (incluyendo MSE), y mi enfoque parecía no llevar a ninguna parte ; lo que intenté fue, utilizando el hecho de que $\beta^{\nu_q}$ es completamente multiplicativo para cualquier $\beta\in\mathbb{C}^\star$ tenemos el formal $^\dagger$ identidad : $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\beta^{\nu_q(n)}}{n^s}=\prod_p\frac{1}{1-\beta^{\nu_q(p)}p^{-s}}=\prod_{p\neq q}\frac{1}{1-p^{-s}}\times\prod_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{1-\beta^mq^{-s}},$$

donde los productos abarcan todos los primos, como es habitual. Esto se puede reescribir en : $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\beta^{\nu_q(n)}}{n^s}=(1-q^{-s})\zeta(s)\prod_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{1-\beta^mq^{-s}}.$$

Además, de forma similar al hecho de que $$(1-2^{-s})\zeta(s)=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{1}{(2m+1)^s},$$

Sospecho que $$(1-q^{-s})\zeta(s)=\sum_{q\not{\,|}\,n}\frac{1}{n^s}.$$

A partir de aquí, no tengo ni idea de si es posible manipular la expresión en algo mejor. Además, dudo que sea relevante, ya que me parece poco probable que esto permita deducir la serie de Dirichlet para $\nu_q$ . ¿Existe una fórmula? ¿Me falta un poco de teoría para aditivo en contraposición a las funciones de multiplicativo ¿?

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$\dagger$ : de $\nu_q(n)\in O(n)$ vemos que la serie de Dirichlet para $\nu_q$ tiene $1$ como abscisa de la convergencia absoluta. Pero $\beta^{\nu_q}$ no necesita tener una abscisa finita, que es lo que quería decir con un formal identidad.

Answer 1

En su identidad formal cometió un error que hace que las cosas parezcan más difíciles de lo que son. Si definimos $$F(s,\beta) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\beta^{\nu_q(n)}}{n^s}$$ obtenemos una serie que converge absolutamente para $\operatorname{Re} s > 1$ et $\lvert \beta\rvert < q$ . Desde $n \mapsto \beta^{\nu_q(n)}$ es (para cualquier $\beta$ ) completamente multiplicativo, el producto de Euler es $$F(s,\beta) = \prod_p \frac{1}{1 - \frac{\beta^{\nu_q(p)}}{p^s}} = \Biggl(\prod_{p \neq q} \frac{1}{1 - p^{-s}} \Biggr)\cdot \frac{1}{1 - \frac{\beta}{q^s}} = \frac{\zeta(s)\bigl(1 - q^{-s}\bigr)}{1 - \beta q^{-s}}\,.$$ Entonces $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\nu_q(n)}{n^s} = \frac{\partial F}{\partial \beta}(s,1)\,,$$ y como $$\frac{\partial F}{\partial \beta}(s,\beta) = \frac{\zeta(s)\bigl(1 - q^{-s}\bigr)}{\bigl(1 - \beta q^{-s}\bigr)^2}\cdot \frac{1}{q^s} = \frac{\zeta(s)\bigl(1 - q^{-s}\bigr)}{\bigl(q^s - \beta\bigr)\bigl(1 - \beta q^{-s}\bigr)}$$ obtenemos $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\nu_q(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s)}{q^s-1} = \zeta(s)\cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{q^{ks}}\,.$$ Así conocemos el comportamiento analítico de la serie de Dirichlet de $\nu_q$ así como conocemos el comportamiento de $\zeta$ .