¿Por qué los eventos independientes nunca son mutuamente excluyentes?

Question

Soy un novato en probabilidades y me encontré con esta afirmación en mi libro de matemáticas. Dos eventos independientes nunca son mutuamente excluyentes. No entiendo por qué es así. ¿Puede alguien explicarlo con un diagrama de ven?

Answer 1

Dejemos que $A, B$ son mutuamente excluyentes, y $P(A)>0,P(B)>0$ . Entonces $P(A\cap B)=0$ . Pero si son independientes entonces $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$ . Contradicción.

Answer 2

No es estrictamente cierto. Si tienes dos sucesos y A siempre ocurre y B nunca (o a la inversa), son mutuamente excluyentes porque nunca se dan los dos juntos. La probabilidad de A no depende de que ocurra B porque es $1$ y, de forma similar, la probabilidad de $B$ no depende de que A ocurra porque es $0$ . En un diagrama de Venn todos los eventos están en el $A \cap \lnot B$ región.

Fuera de este caso, la afirmación es verdadera. Si se sabe que A ocurrió, se sabe que B no ocurrió, por lo que se viola la independencia.