Normalizadores de grupos de automorfismo

Question

En grupos abstractos $\Gamma$ el normalizador $N_\Gamma(S)$ de un subconjunto $S\subseteq\Gamma$ es el subgrupo de todos los $x \in \Gamma$ que se desplazan con $S$ es decir $xS = Sx$ es decir $x\ y\ x^{-1} \in S$ para todos $y \in S$ .

Entre las permutaciones $S_n$ de los vértices de un gráfico $G$ de orden $n$ (o cualquier otro tipo de estructura) hay un subgrupo distinguido: el automorfismos $\text{Aut}(G)$ que reflejar las simetrías de $G$ :

$$\alpha \in \text{Aut}(G)\quad \Leftrightarrow \quad \alpha G = G$$

Para dar $\alpha G = G$ un significado adecuado, identificar $G$ con una matriz de adyacencia, por ejemplo.

El normalizador de $\text{Aut}(G)$ es otro subgrupo distinguido: consiste en aquellas permutaciones $\pi$ de los vértices, tal que $\text{Aut}(\pi G) = \text{Aut}(G)$ es decir, que respetar las simetrías de $G$ como se puede mostrar así:

$\quad \pi \in N_{S_n}(\text{Aut}(G))\\ \Leftrightarrow \pi^{-1}\alpha\ \pi \in \text{Aut}(G)\ \text{for all}\ \alpha \in \text{Aut}(G)\\ \Leftrightarrow \pi^{-1}\alpha\ \pi\ G = G\ \text{for all}\ \alpha \in \text{Aut}(G)\\ \Leftrightarrow \alpha\ \pi\ G = \pi\ G\ \text{for all}\ \alpha \in \text{Aut}(G)\\ \Leftrightarrow\alpha \in \text{Aut}(\pi G)\ \text{for all}\ \alpha \in \text{Aut}(G)$

Tenga en cuenta que $\text{Aut}(\pi G)$ et $\text{Aut}(G)$ son por supuesto isomorfo por cada $\pi \in S_n$ :

$$\text{Aut}(\pi G) \simeq \text{Aut}(G)$$

pero este no es el asunto que nos ocupa. El asunto que nos preocupa es

$$\text{Aut}(\pi G) = \text{Aut}(G)$$

Mi primera pregunta ahora es:

¿El normalizador de los automorfismos de una estructura tiene un nombre establecido por sí mismo?

Algo así como simetría preservar los reordenamientos (en comparación con adyacente preservar los reordenamientos [qué son los automorfismos] o estructura preservar los reordenamientos (lo que son las permutaciones generales de las etiquetas) Nótese, que y como la siguiente permutación es (i) preservadora de simetría y (ii) un elemento del normalizador de $\text{Aut}(G)$ y que (iii) la mayoría de las otras permutaciones no lo son:

¿Dónde se investiga el normalizador de los automorfismos de una estructura por derecho propio, o juega un papel explícito, por ejemplo, en un teorema?

Más específico:

¿Cómo puede el normalizador de los automorfismos de una estructura ser definirse/caracterizarse sin referencia a (y definición previa de) ésta de esta última?

Answer 1

Primero, algunos antecedentes.

Dada una acción (izquierda) de un grupo $S$ en un conjunto $\Gamma$ llamamos $\Gamma$ a $S$ -Set. A morfismo de $S$ -sets $\phi:\Gamma\to\Lambda$ es una función tal que $\phi(s\gamma)=s\phi(\gamma)$ para todos $s\in S$ et $\gamma\in\Gamma$ . De este modo, la clase de todos los $S$ -sets se convierte en un categoría .

Si $A\le S$ es un subgrupo, entonces el espacio del coset izquierdo $S/A$ es canónicamente un $S$ -con acción dada por la multiplicación por la izquierda, es decir $\sigma(sA)=(\sigma s)A$ (es decir $\sigma$ envía $sA$ a $(\sigma s)A$ ).

Si $\Gamma$ es un transitivo $S$ -set, es decir, para todos $\gamma_1,\gamma_2\in\Gamma$ existe un $s\in S$ tal que $s\gamma_1=\gamma_2$ y tenemos un elemento $\gamma\in\Gamma$ con estabilizador de punta $A=\mathrm{Stab}_S(\gamma)$ , entonces el mapa $S/A\to\Gamma$ dado por $sA\mapsto s\gamma$ está bien definido, es una biyección y es un morfismo de $S$ -sets. En otras palabras, $\Gamma\cong S/A$ son isomorfas en la categoría de $S$ -sets. (Esto es esencialmente una versión categorizada del teorema del estabilizador de la órbita, que suele ser sólo una igualdad numérica de cardinalidades).

El grupo de automorfismo $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ de $\Gamma$ en la categoría de $S$ -(es decir, el grupo de $S$ -biyecciones equivariantes $\Gamma\to\Gamma$ ) será un producto directo de productos de corona de grupos de automorfismo de órbitas, por lo que sin pérdida de generalidad querremos calcular $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ cuando $\Gamma=S/A$ es una órbita.

Supongamos que $\phi:S/A\to S/A$ es $S$ -equivariante. Elige $\tau$ con $\phi(A)=\tau A$ Entonces, como $aA=A$ o todos $a\in A$ necesitamos $a\phi(A)=\phi(A)$ o en otras palabras $a\tau A=\tau A$ para todos $a\in A$ lo que equivale a $\tau\in N_S(A)$ . Por el contrario, si $\tau\in N_S(A)$ entonces $\tau A=A\tau$ así que realmente $\phi(sA)=sA\tau$ es justo- multiplicación- por- $\tau$ que evidentemente conmuta con la izquierda $S$ -acciones.

Sin embargo, hay cierta redundancia. Cada $\tau\in N_S(A)$ define un automorfismo de $\Gamma$ pero diferentes elementos $\tau\ne \tau'$ pueden definir el mismo automorfismo. El mapa $N_S(A)\to\mathrm{Aut}_S(S/A)$ puede sin embargo, se puede concebir como un homomorfismo de grupo, donde $\tau\mapsto R_{\tau^{-1}}$ con $R_{\tau^{-1}}(sA)=sA\tau^{-1}$ (tenemos que usar $\tau^{-1}$ para que $R_{\tau \tau'}=R_\tau\circ R_{\tau'}$ ). El núcleo de $N_S(A)\to\mathrm{Aut}_S(S/A)$ se ve fácilmente que es $A$ por lo que concluimos que $\mathrm{Aut}_S(S/A)\cong N_S(A)/A$ .

Si queremos realizar todo de $N_S(A)$ como grupo de simetría, en lugar de $N_S(A)/A$ Necesitamos equipar $\Gamma=S/A$ con algo más que un $S$ -acción. Tenemos que convertirlo en un groupoide .

A groupoide es, en una definición, una categoría con sólo isomorfismos. Más concretamente, un groupoide es un conjunto de estados y un conjunto de transiciones entre los estados que se pueden componer. Por ejemplo, el rompecabezas del quince tiene muchas configuraciones diferentes de piezas en el tablero, y muchas formas de transición entre diferentes estados (una transición es una secuencia de cambios de piezas) que se pueden componer juntas. Lo mismo ocurre con el cubo de Rubik.

El groupoide asociado al cubo de Rubik tiene algo especial: es un grupo de acción . Para entender esto, primero hay que olvidarse de los colores del cubo (para que sea completamente gris, por ejemplo), y tomar su grupo de simetría $S$ de las rotaciones de las capas y que actúe sobre el conjunto de estados del cubo de Rubik.

Formalmente, si $S$ actúa sobre $\Gamma$ , el grupo de acción $\Gamma/\!/S$ tiene $\Gamma$ como su conjunto de estados, y una transición $\gamma_1\to\gamma_2$ por cada $s\in S$ con $s\gamma_1=\gamma_2$ que podemos escribir como triplas ordenadas $(s,\gamma,s\gamma)$ . Podemos representar esto con un grafo de Cayley: pensemos en $\Gamma$ como un grupo de vértices, y dibujar una flecha $\gamma\to s\gamma$ etiquetado por $s$ para todos $\gamma\in\Gamma,s\in S$ .

Componer las transiciones $\gamma_1\xrightarrow{s}\gamma_2$ et $\gamma_2\xrightarrow{s'}\gamma_3$ da $\gamma_1\xrightarrow{s's}\gamma_3$ .

Tenga en cuenta que $S$ actúa canónicamente por automorfismos de grupo de $\Gamma/\!/S$ . Aplicando $s'$ envía el estado $\gamma$ al estado $s\gamma$ y envía la transición $\gamma_1\xrightarrow{s'}\gamma_2$ a la transición $s\gamma_2\xrightarrow{ss's^{-1}}s\gamma_2$ . Esto identifica $S$ con un subgrupo de $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Gpd}}(\Gamma/\!/S)$

Ejercicio . El grupo de automorfismos de grupos de $\Gamma/\!/S$ que se entrelazan con el $S$ -es isomorfo al normalizador $N_S(A)$ , donde $\Gamma=S/A$ .

(Tenga en cuenta que no sea el mismo subconjunto que $N_S(A)\subseteq S\subset\mathrm{Aut}_{\mathrm{Gpd}}(\Gamma/\!/S)$ .)

Ahora relacionemos esto con los gráficos. En realidad, podemos hacerlo con cualquier tipo de estructura combinatoria etiquetada en un conjunto finito. Formalmente, un especies combinatorias es un endofuntor de la categoría de conjuntos finitos con biyecciones. Por ejemplo, en un conjunto finito $V$ podemos construir gráficos etiquetados en $V$ árboles etiquetados, ordenaciones parciales, ordenaciones reticulares, ordenaciones lineales, permutaciones, permutaciones con una determinada estructura de ciclos, particiones de conjuntos, particiones de conjuntos con tamaños de bloque especificados, $k$ -subconjuntos para algún número entero $k$ , conjuntos de potencia, conjuntos de potencia de conjuntos de energía, etc.

El hecho de que una especie $F$ es un functor significa cualquier "intercambio de etiquetas" $\pi:V\to W$ (pensamos en $V$ et $W$ como un conjunto de etiquetas que podemos pegar en alguna estructura combinatoria, y los tenderos suelen cambiar un conjunto de etiquetas por otro si, por ejemplo, se produce una venta) induce una función $F(\pi):FV\to FW$ entre las estructuras combinatorias.

Por ejemplo, si $F$ es la especie de los grafos, entonces esto tiene la siguiente interpretación en lenguaje semicolonial. Gráfico con etiquetas de $V$ pueden convertirse en gráficos con etiquetas de $W$ porque $\pi$ intercambia etiquetas de $V$ para las etiquetas de $W$ y esto induce un mapa de la colección $FV$ de gráficos con etiquetas de $V$ a la colección $FW$ de gráficos con etiquetas de $FW$ .

En particular, si $V=W$ entonces $\pi\in S_V$ induce una $F(\pi)\in S_{FV}$ . Es decir, tenemos un homomorfismo de grupo $S_V\to S_{FV}$ que puede interpretarse como una acción de $S_V$ en la recopilación de todos los $F$ -estructuras en $V$ . Las órbitas son las isomorfo $S_V$ -estructuras, y las reordenaciones $\pi\in S_V$ proporcionan los isomorfismos entre isomorfos $F$ -estructuras.

Supongamos que trabajamos de nuevo con la especie $F$ de los gráficos. Un gráfico en $V$ puede formalizarse como una colección de aristas $E$ o, en otras palabras, una colección de $2$ -subsets (pares desordenados). (Esto significa que $FV=\mathcal{P}(\binom{V}{2})$ es una composición de las especies del conjunto de potencia con el $2$ -subconjuntos de especies). La colección $\Gamma$ de todos los gráficos en $V$ isomorfo a uno dado con conjunto de aristas $E$ es una órbita bajo la acción de $S_V$ y el grupo de automorfismo $A$ del gráfico particular es estabilizador de $E\in\Gamma$ .

Ahora $S=S_V$ actúa por automorfismos de grupo del grupo de acción $\Gamma/\!/S$ y las simetrías del grupo que conmutan con el $V$ -la acción de etiquetado es $N_S(A)$ .

Ejercicio . Dibuja todas las gráficas de los ciclos en cuatro puntos dados en el plano etiquetado $1,2,3,4$ . (Deberías obtener tres: un cuadrilátero y dos figuras de reloj de arena.) Dibuja flechas entre estos gráficos de ciclos y rotúlalos con las permutaciones en $S_4$ para obtener el grupo de acción. (Debería tener $24$ flechas en total, con cuatro de cada figura hacia sí misma). El hecho de que el grupo de automorfismo $V_4$ es normal en $S_4$ corresponde al hecho de que todas las permutaciones dan simetrías de grupo de reetiquetado-intercambio.

También podemos hacerlo con grafos dirigidos.

Ejercicio . Haz lo mismo que el ejercicio anterior, pero con tres puntos y gráficos de ciclos dirigidos.

Ejercicio . Haz lo mismo con los árboles ternarios enraizados en cuatro puntos.