Caracterización de triángulos con ángulos de grados enteros que son similares a cualquiera de sus triángulos ortales iterados

Question

Un triángulo tiene ángulos enteros $a,b,c$ (en grados) y creamos el triángulo del pedal y lo llamamos Pedal- $(1)$ . (Aquí, "triángulo de pedales" significa el triángulo de pedales cuyos vértices son los pies de las altitudes del triángulo original; es decir, el triángulo ortótico .)

Pedal - $(n)$ El triángulo de pedales de la empresa es Pedal- $(n+1)$ .

Si el triángulo original es similar a cualquiera de los Pedal- $(n)$ 's lo llamamos un triángulo "x".

Tengo si un triángulo es un triángulo "x" entonces $a,b,c$ debe ser divisible por $4$ . Pero no que si $a,b,c$ son divisibles por $4$ entonces el triángulo debe ser un triángulo "x".

Y probar todos los tríos para $a,b,c$ divisible por $4$ muestra que todos los triángulos de esta categoría son efectivamente un triángulo "x"?

¿Por qué ocurre esto?

Answer 1

Si el pedal $(n)$ tiene ángulos $(a,b,c)$ , luego Pedal $(n+1)$ tiene ángulos: $$\cases{ (180°-2a,\quad 180°-2b,\quad 180°-2c)&if Pedal$ (n) $ is an acute triangle,\\ (2a-180°,\quad2b,\quad2c)&if angle $ a $ is obtuse.\\}$$ Eso, por supuesto, explica por qué todo triángulo "x" debe tener $a$ , $b$ , $c$ divisible por $4$ .

Por otro lado, un triángulo $T$ , con ángulos $a$ , $b$ , $c$ divisible por $4$ no es un triángulo "x" sólo si no hay ningún otro triángulo con ángulos divisibles por $4$ que tiene $T$ como triángulo órtico. Pero esto nunca es así, ya que $T$ es el triángulo órtico de un triángulo que tiene ángulos $a'$ , $b'$ , $c'$ (también divisible por $4$ ) dada por: $$\cases{ a'=90°-a/2,\quad b'=90°-b/2,\quad c'=90°-c/2 & if none of $ a $, $ b $, $ c $ is divisible by $ 8 $,\\ a'=90°+a/2,\quad b'=b/2,\quad\quad\quad\ c'=c/2 & if $ b $ and $ c $ are divisible by $ 8 $ while $ a $ is not.\\ }$$ No es posible otro caso, porque $a+b+c=180°$ no es divisible por $8$ .

En otras palabras: en toda cadena de triángulos órticos anidados, si los ángulos de un triángulo son divisibles por $4$ entonces los ángulos de los triángulos que le preceden y le siguen en la cadena vienen dados unívocamente por las relaciones anteriores. Una cadena de este tipo no puede tener entonces ni un primer ni un último triángulo, ni ramas, y tarde o temprano debe aparecer un triángulo con los mismos ángulos que el primero.