Estoy empezando un auto-estudio de análisis funcional, y me parece haber llegado a su fin tratando de resolver el primer problema, en el primer conjunto de problemas, y me preguntaba si alguien me podría dar un puntero.
El problema pide muestran que, mientras que la propiedad $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ deben ser incluidos en los axiomas de un espacio vectorial, es una propiedad que se puede derivar de los axiomas de una normativa espacio vectorial.
Los axiomas de un espacio vectorial $V$ sobre el campo de $\mathbf{R}$ dado en el libro son como sigue:
- $V$ es un grupo.
- Para cada una de las $\alpha\in\mathbf{R}$ y $\mathbf{a}\in V$, $\alpha\mathbf{a}\in V$
- $\alpha(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\alpha\mathbf{a}+\alpha\mathbf{b}$
- $(\alpha+\beta)\mathbf{a}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{a}$
- $\alpha(\beta\mathbf{a})=(\alpha\beta)\mathbf{a}$
- $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$
Los axiomas para una normativa espacio vectorial son de 1-5, más el axioma de que no hay un mapa de $\Vert\cdot\Vert:V\to\mathbf{R}$ que satisface todas las propiedades de una norma.
El problema expresado formalmente ahora es mostrar que 1--5 no implican, de 6, pero de 1-5, junto con la norma implica hacer 6.
Este problema parece similar a la pregunta planteada aquí, y a partir de la discusión de esta pregunta parece un ejemplo sencillo de un espacio vectorial de satisfacciones de 1-5, pero no a las 6 en la que la multiplicación escalar siempre se obtiene el vector cero. Este puede ser el caso de una normativa espacio vectorial, porque para $\mathbf{a}\neq0$ $\alpha\neq0$ sabemos $\Vert\mathbf{a}\Vert\neq0$, y una norma satisface $\Vert\alpha\mathbf{a}\Vert=\vert\alpha\vert\Vert\mathbf{a}\Vert\neq0$, pero también tenemos $\Vert\alpha\mathbf{a}\Vert=\Vert\mathbf{0}\Vert=0$ a partir de nuestra definición de producto escalar, que es una contradicción.
Es trivial que $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ si todos los vectores en $V$ puede ser escrito como un escalar múltiples de un vector en $V$, desde entonces $\mathbf{a}=\alpha\mathbf{b}=(1\alpha)\mathbf{b}=1(\alpha\mathbf{b})=1\mathbf{a}$, pero mientras que la norma ha descartado el extraño caso de la multiplicación escalar que significa que solo se $\mathbf{0}$ puede ser escrito como un escalar múltiples de un vector, No he sido capaz de convencerme de que en otros casos donde no existen vectores que no son múltiplos escalares de un vector se han descartado.
Nadie ofrece un puntero de cómo mostrar la información de cada vector en una normativa espacio vectorial puede escribirse como un escalar múltiples de un vector en el espacio, o tal vez me apunte a una forma más natural de acercarse a este problema?
Gracias.
