¿Es el espacio de difeomorfismos homotópico equivalente a un complejo CW?

Question

Aclaración: Mi pregunta se refiere al tipo de homotopía del espacio de $C^k$ difeomorfismos con el compacto-abierto $C^k$ topología, donde $0< k \leq\infty$ . He expuesto mi pregunta a continuación con $k=1$ para la definición y la simplicidad. No estoy particularmente interesado en ningún valor específico de $k$ . $\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}$$ \newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$

Es bastante conocido que el espacio $\Diff(M)$ de $C^1$ difeomorfismos de una variedad lisa cerrada $M$ es equivalente en homotopía a un complejo CW. Aquí están los hechos relevantes:

• $\Diff(M)$ es una variedad de Banach modelada localmente en el espacio de $C^1$ campos vectoriales en $M$ .

• Las variedades de Banach metrizables tienen el tipo de homotopía de los complejos CW, como demuestra Palais.

[ Nota: : Cuando $M$ es cerrado, los espacios de $C^k$ difeomorfismos de $M$ (para $0 < k \leq\infty$ ) son todos equivalentes en homotopía a través de las inclusiones naturales. Esto puede demostrarse incrustando $M$ sin problemas en $\RR^N$ y, a continuación, utilizando operadores de suavizado definidos mediante la convolución con un molificador].

Cuando permitimos $M$ para no ser compacto, hay varias topologías comunes en $\Diff(M)$ . Me interesa el compacto-abierto (o débil ) $C^1$ topología.

Preguntas: ¿Se sabe si el espacio $\Diff(M)$ de $C^1$ difeomorfismos con la compacta-abierta $C^1$ -es equivalente en homotopía a un complejo CW cuando $M$ ¿es un colector liso sin límites? ¿Hay algún contraejemplo conocido? ¿Hay casos particulares en los que se conozca la respuesta, por ejemplo si $M$ ¿es el interior de un colector compacto?

Siéntase libre de utilizar en su lugar $C^k$ difeomorfismos y/o el compacto-abierto $C^k$ topología para cualquier $0 < k \leq\infty$ .

También me interesaría conocer cualquier resultado conocido relacionado con esta cuestión: por ejemplo, para espacios de incrustación de variedades en la topología compacta-abierta/débil cuando el origen no es el interior de una variedad compacta.

Editar: Allen Hatcher ha respondido muy bien a mi pregunta. Posteriormente, también publiqué una respuesta muy similar a la de Allen, que estaba escribiendo cuando éste publicó la suya. Queda una pregunta pertinente: (1) ¿Se mantiene el resultado para el interior de una variedad compacta? He aquí una pregunta quizá menos pertinente: (2) Para $M$ sin límite, ¿los componentes de la trayectoria de $\Diff(M)$ tienen el tipo de homotopía de un complejo CW?

Answer 1

Este es un ejemplo en el que ${\rm Diff}(M)$ con la topología compacta-abierta no es equivalente en homotopía a un complejo CW. Tomemos $M$ para ser una superficie de género infinito, digamos la más simple con un solo extremo no compacto. Describiré una secuencia infinita de difeomorfismos $f_n:M\to M$ que convergen a la identidad en la topología compacta-abierta y que se encuentran en diferentes componentes del camino de ${\rm Diff}(M)$ . Suponiendo esto, supongamos $\phi:{\rm Diff}(M) \to X$ es una equivalencia de homotopía con $X$ un complejo de CW. La secuencia infinita $f_n$ junto con su límite forma un conjunto compacto en ${\rm Diff}(M)$ por lo que su imagen bajo $\phi$ sería compacto y, por tanto, estaría en un subcomplejo finito de $X$ que sólo encuentra un número finito de componentes de $X$ . Así, $\phi$ no induciría una biyección en los componentes del camino, una contradicción.

Para construir $f_n$ se parte de una secuencia infinita de curvas cerradas simples disjuntas $c_n$ en $M$ marchando hacia el infinito, y que $f_n$ sea un giro de Dehn a lo largo de $c_n$ . El $f_n$ convergen a la identidad en la topología compacta-abierta ya que el $c_n$ se acercan al infinito. Podemos elegir el $c_n$ para que representen elementos distintos en una base de $H_1(M)$ y luego el $f_n$ inducirán distintos automorfismos de $H_1(M)$ . Si dos diferentes $f_n$ estaban en la misma ruta-componente de ${\rm Diff}(M)$ tendrían que inducir el mismo automorfismo de $H_1(M)$ ya que cualquier camino que los una restringiría a una isotopía de cualquier curva simple cerrada en $M$ (véase el párrafo siguiente) y una base para $H_1(M)$ se representa con curvas cerradas simples.

Si $g_t$ es un camino en ${\rm Diff}(M)$ entonces las imágenes $g_t(c)$ de cualquier curva simple cerrada $c$ varían por isotopía ya que esto es cierto ya que $t$ varía en una pequeña vecindad de un determinado $t_0$ Así que, como el $t$ -intervalo $[0,1]$ es compacto, un número finito de estos barrios cubre $I$ y la afirmación es la siguiente.

Observación: El $f_n$ 's fueron elegidos para ser giros Dehn sólo por conveniencia. Muchas otras opciones de difeomorfismos funcionarían igual de bien. Se puede ver fácilmente cómo generalizar a dimensiones más altas.

Answer 2

Consulte el documento Antonelli, P. L.; Burghelea, D.; Kahn, P. J. El tipo de homotopía no finito de algunos grupos de difeomorfismo. Topología 11 (1972), 1-49.

Allí se menciona un antiguo resultado de Palais ( Teoría de la homotopía de las variedades de dimensión infinita . Topology 5 (1966), 1-16) que afirma que la componente de identidad de ${\rm Diff}_0(M)$ tiene el tipo de homotopía de a contable $CW$ -complejo.

En su artículo, Antonelli, Burghelea y Kahn demuestran que para muchas variedades suaves (incluidas las esferas de dimensión $\geq 7$ ) el grupo ${\rm Diff}_0(M)$ no tiene el tipo de homotopía de a finito $CW$ -complejo. (Esto es altamente no trivial).

Arriba, por difeomorfismos quieren decir difeomorfismos suaves y la topología es la $C^\infty$ -topología.

Answer 3

$\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}$ Primero dejemos $M$ estar cerrado. Entonces $\Diff^\infty(M)$ se modela localmente en el espacio de campos vectoriales suaves en $M$ que es un espacio de Frechet. Todos los espacios de Frechet (infinitamente dimensionales y separables) son homeomorfos. Así que esto se reduce al caso que has descrito. Lo mismo ocurre con $\Diff^k(M)$ .

Dejemos que $M$ ser abierta (no compacta sin límite). Entonces $\Diff^\infty(M)$ está abierto en $C^\infty(M,M)$ en el Whitney $C^\infty$ topología. Pero no es localmente contractible en esta topología, y la componente de arco conectado de la identidad está contenida en el grupo $\Diff^\infty_c(M)$ de difeomorfismos que difieren de la identidad sólo en un conjunto compacto. El grupo $\Diff^\infty_c(M)$ es un grupo de Lie regular modelado localmente en el espacio de $\mathfrak X_c(M)$ campos vectoriales suaves con soporte compacto que es un espacio nuclear (LF). De forma similar para $\Diff^k(M)$ . No recuerdo si $\mathfrak X_c(M)$ es un complejo CW.

Ver [Peter W. Michor: Manifolds of differentiable mappings. Shiva Mathematics Series 3, Shiva Publ., Orpington, (1980), iv+158 pp., MR 83g:58009, ZM 433.58001]
para obtener muchos detalles sobre esto, incluyendo el caso de los colectores con límite y con esquinas. Véase también la sección 41 de [aquí] .

Edición: Vidit Nanda ha señalado que el compacto abierto $C^1$ o $C^\infty$ se pidió la topología. Esta no es una buena topología: En general no es localmente contractible, por lo que no se puede modelar un colector en espacios vectoriales topológicos. También $\Diff^k(M)$ no está abierto en $C^k(M,M)$ para cualquier $k\ge 1$ si $M$ no es compacto.

Una vez intenté describir un escenario en el que $\Diff^\infty(M)$ con el compacto $C^\infty$ La topología sería un grupo de Lie: variedades suaves basadas en curvas suaves en lugar de gráficas; pero se necesitan muchas otras estructuras como una estructura geodésica, espacios localmente convexos como espacios tangentes y transporte paralelo. La categoría de variedades resultante es monodialmente cerrada, y las variedades con espacios tangentes de dimensión finita (o incluso de Banach) son exactamente las habituales. La topología es la topología final con respecto a las curvas suaves, y para $\Diff(M)$ es efectivamente el compacto $C^\infty$ -topología. La teoría es terriblemente complicada, y nadie la ha utilizado nunca. No tengo ni idea de si esto ayuda a la búsqueda de complejos CW. Ver:

• Peter W. Michor: Un entorno conveniente para la geometría diferencial y el análisis global, I, II. Cahiers Topologie Geometrie Differentielle 25 (1984), 63--109, 113--178. (pdf de la parte 1) (pdf de la segunda parte)

La respuesta de Liviu Nicolaescu parece ser la mejor para su pregunta.

Answer 4

[ Editar: Allen Hatcher publicó una respuesta mientras yo escribía ésta. Ambas respuestas parecen utilizar ideas similares. De todos modos, dejaré mi respuesta aquí].

$\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}$$ \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} $$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$$ \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} $$\newcommand{\connsum}{\mathbin{\#}}$$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}} $$\newcommand{\set}[1]{\lbrace #1 \rbrace}$ La lectura de la respuesta de Peter Michor me dio una idea para un contraejemplo, que explico a continuación. Queda pendiente la cuestión de si el resultado es válido para el interior de una variedad compacta.

Reclamación: Los componentes del camino de un espacio homotópico equivalente a un complejo CW son todos abiertos.

Una equivalencia de homotopía induce una biyección en los componentes del camino. En consecuencia, si un espacio $X$ es equivalente en homotopía a un espacio $Y$ y los componentes de la trayectoria de $Y$ están abiertas en $Y$ entonces los componentes de la trayectoria de $X$ están abiertas en $X$ . Por último, obsérvese que cualquier complejo CW está localmente conectado por caminos, y por tanto sus componentes por caminos son abiertos.

Construcción del contraejemplo

Por lo tanto, basta con presentar una colmena lisa $M$ sin límite, de manera que las componentes de la trayectoria de $\Diff(M)$ no están abiertos. Definir $M$ para ser el submanifold abierto de $\RR \times S^1$ dado por $$ M = (\RR \times S^1) \setminus (\ZZ \times \set{1}) $$ donde $1\in S^1 \subset\CC$ . También se puede ver $M$ como una suma conectada de infinitas esferas perforadas $P=S^2\setminus\set{(1,0,0)}$ : $$ M \cong \, \cdots \connsum P \connsum P \connsum P \connsum \cdots $$

Prueba de que la componente de la trayectoria de $\id_M$ no está abierto en $\Diff(M)$

Elige un barrio $U$ de $\id_M$ en $\Diff(M)$ . Describiré un difeomorfismo $\varphi\in U$ que no está en el componente de ruta de $\id_M$ en $\Diff(M)$ Concluyendo así la prueba. Por definición de la topología compacta-abierta en $\Diff(M)$ existe un subespacio compacto $K$ de $M$ tal que un difeomorfismo dado de $M$ está en $U$ si es la identidad en $K$ . Sea $n$ sea un número entero positivo lo suficientemente grande como para que $K\subset [-n,n]\times S^1$ . Ahora definimos el difeomorfismo necesario $\varphi$ de $M$ : $$ \varphi(t,x) = \bigl( t , e^{i\cdot\theta(t-n)} x \bigr) $$ donde $\theta:\RR\to\RR$ es cualquier función suave que es idéntica a cero en $(-\infty,0]$ y es igual a $2\pi$ en $[1,+\infty)$ . Ver $M$ como la suma conectada de infinitas esferas perforadas, el difeomorfismo $\varphi$ es el resultado de aplicar una torsión de Dehn en el cilindro de unión de las esferas numeradas $n$ y $n+1$ .

Es fácil ver que $\varphi:M\to M$ ni siquiera es homotópico a la identidad: de hecho, el homomorfismo inducido por $\varphi$ en $\pi_1(M)$ (basado en el punto $(n,-1)$ ) no es conjugada con la identidad. Aquí hay una forma sencilla de ver esto:

1. El grupo $\pi_1 M$ es libre en infinitos generadores.

2. El homomorfismo $\pi_1 \varphi$ coincide con la identidad en todos los bucles de $M$ contenida en $(-\infty,n]\times S^1$ . En particular, $\pi_1 \varphi$ fija dos generadores libres distintos (en realidad, infinitos) de $\pi_1 M$ .

3. El homomorfismo $\pi_1 \varphi$ no es el homomorfismo de identidad en $\pi_1 M$ un bucle que rodea el pinchazo $(n+1,1)\in\RR\times S^1$ no está fijado por $\pi_1 \varphi$ .

4. En un grupo libre, la conjugación por un elemento no identitario puede fijar como máximo uno de los generadores libres.