Consulta sobre la continuidad de $f$ y $f^{-1}$ .

Question

Antecedentes: (De la definición de Homeomorfismo en Topología , por Munkres )

Dejemos que $X$ y $Y$ representan espacios topológicos y $$f \colon X \longrightarrow Y$$ sea una función biyectiva. Entonces, si $f$ y $f^{-1}$ son funciones continuas, $f$ es un homeomorfismo.

Pregunta:

(1) ¿Basta con decir que si $f$ es una función biyectiva y continua, entonces $f$ es un homeomorfismo?

(1.b) Si no es así, ¿cuándo ocurre que $f$ es una función continua y biyectiva y $f^{-1}$ ¿no es también una función continua?

Answer 1

1. No es suficiente. Hay contraejemplos.
2. Si el mapa no se abre, por ejemplo: $\theta\mapsto e^{\theta i}$ para $\theta\in[0,2\pi)$ . El dominio no es compacto y el rango sí, por lo que no es un homeomorfismo. Pero es fácil comprobar que se trata de una biyección continua.

Answer 2

La respuesta a la pregunta $1$ es no. Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\tau$ , $\tau'$ dos topologías en $X$ con $\tau'$ estrictamente más grueso que $\tau$ . Entonces $\operatorname{id} : (X, \tau) \to (X, \tau')$ es una biyección continua, pero su inversa no es continua.