¿Cuál es el papel de la intuición matemática y sentido común en las preguntas de la irracionalidad o la trascendencia de los valores de funciones especiales?

Question

Me dieron el número de $$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{5}\right)\Gamma\left(\frac{4}{15}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)}=0.824326275998351470388591998726842...$$ en el proceso de algunos de ellos bastante largos cálculos que no son relevantes para mi pregunta.

Pregunta 1: Es este número, racionales, algebraicas irracionales o trascendental?

He realizado algunos cálculos numéricos y de no encontrar una estrecha relación entre las raíces de los polinomios de grado menor que $100$ y entero de los coeficientes de valor absoluto menos de $10^{12}$.

Algunas personas me han hecho esta pregunta me dijeron que es muy probable desconocido y probablemente será desconocido (en el sentido riguroso) por un largo tiempo. Pero muchos de ellos estaban dispuestos a apostar que este número es trascendental. Su razonamiento fue que hay $2^{\aleph_0}$ trascendental números y sólo $\aleph_0$ algebraics. Por lo tanto, si el número con una simple definición no es explícitamente construido para ser algebraicas, y simple de las pruebas no indican que es algebraica, entonces esto sólo sería altamente improbable coincidencia para ser algebraicas. Las matemáticas y la intuición y el sentido común dice que no hay tales coincidencias. En realidad, yo no espero mucho para conseguir la respuesta a mi primera pregunta, y me gustaría responder a otra (más filosófica) uno:

Pregunta 2: ¿Es este el sentido común de razonamiento válido? ¿Cuál es la función de la intuición en matemáticas?

Answer 1

Voy a comenzar con la bomba, y a seguir con algunas notas.

La constante es algebraico.

De hecho, cumple con la (irreductible) grado $120$ la ecuación:

$$729 + 914166000 x^{30} + 3529576586250 x^{60} - 1259674334325000 x^{90} + 3125 x^{120}.$$

También es expresable a través de radicales:

$$\frac{\sqrt{2}\cdot 3^{1/20}}{5^{1/6} {\left(5-\frac{7}{\sqrt{5}}+\sqrt{6-\frac{6}{\sqrt{5}}}\right)^{1/4}}}.$$

Todo esto se desprende de un estudio reciente, Expessions para los Valores de la Función Gamma, en los cuales las expresiones para $\Gamma(m/n)$ con $n$ ya sea dividiendo $24$ o $60$ se dan en términos de algunos algebraicas constantes, $\pi$, y los siguientes diez $\Gamma$-valores:

$$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right),\Gamma\left(\frac{1}{4}\right),\Gamma\left(\frac{1}{5}\right),\Gamma\left(\frac{2}{5}\right),\Gamma\left(\frac{1}{8}\right),\Gamma\left(\frac{1}{15}\right),\Gamma\left(\frac{1}{20}\right),\Gamma\left(\frac{1}{24}\right),\Gamma\left(\frac{1}{60}\right),\Gamma\left(\frac{7}{60}\right).$$

Se cree (Lang) que estas constantes son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}(\pi$.