Una función es diferenciable $n$ tiempos. Supongamos que hay $n+1$ puntos distintos. Demostrar que $\exists$ un punto $y$ tal que $f^{(n)}(y)=0$

Question

Así que estoy atascado en esta pregunta, tengo una idea sobre la pregunta pero me perdí la conferencia a la que pertenecía. Así que no estoy seguro de la teoría que hay detrás, así que se agradecería si alguien pudiera ayudarme. :)

Pregunta

Supongamos que la función $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es $n$ tiempos diferenciables en $\mathbb{R}$ . Supongamos que hay $n+1$ puntos distintos { $x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1}$ } tal que $x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}$ y $f(x_i)=0$ para todos $i=1,2,...,n,n+1$ . Demostrar que existe al menos un punto $y$ tal que $f^{(n)}(y)=0$ .

Nota

Desafortunadamente no tengo un intento, ya que he estado sentado en él durante 2 horas sin saber por dónde empezar, porque como he dicho me perdí la conferencia, sin embargo, he llegado a la conclusión de que posiblemente podría implicar hacer el teorema de Rolle varias veces, pero no sé realmente cómo aplicarlo, etc. De todos modos, ¡cualquier ayuda sería enormemente apreciada! :)

Answer 1

Sí, vas por el camino correcto, aplicando el Teorema de Rolle al intervalo $(x_1,x_{n+1})$ conseguimos que $f^{(1)}(x)$ debe tener al menos $n$ raíces en el intervalo $(x_1,x_{n+1})$

Ahora aplique de nuevo el Teorema de Rolle para la función $f^{(1)}(x)$ de donde se obtiene que $f^{(2)}(x)$ debe tener al menos $n-1$ raíces en el intervalo $(x_1,x_{n+1})$ .

Haciendo esto conseguirás que $f^{(i)}(x)$ debe tener al menos $n+1-i$ raíces en el intervalo $(x_1,x_{n+1})$ .

Ahora para $i=n$ tendrás al menos $n+1-n$ raíz, es decir, al menos $1$ raíz en el intervalo dado .

Para aplicar el Teorema de Rolle se necesita :

Para el intervalo $[a,b]$ si $f$ es continua y diferenciable, y $f(a) =f(b)$ entonces $f'(x)$ debe ser cero al menos en $x$ en el intervalo $[a,b]$

Answer 2

El teorema de Rolle establece que si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ con $f(a)=f(b)$ , entonces hay un punto $c$ en $(a,b)$ tal que $f^{\prime}(c)=0$ . En particular, este es el caso si $f(a)=f(b)=0$ .

En tu problema, puedes aplicar el teorema de Rolle en cada intervalo $[x_i,x_{i+1}]$ para $i=1,2,\dots,n$ . De esta forma, se obtendrán puntos $y_1<\dots<y_n$ para lo cual $f^{\prime}(y_i)=0$ .

A continuación, basta con repetir el proceso aplicando el teorema de Rolle a $f^{\prime}$ y así sucesivamente.

Answer 3

Por el Teorema de Rolle, existe $c_i$ tal que $x_i < c_i < x_{i+1}$ y $f'(c_i) = 0$ . Ahora aplique el Teorema de Rolle de esta manera a la $c_i$ 's. Sigue haciendo esto.