Transformación (?) de variables aleatorias continuas

Question

Antecedentes

Supongamos que utilizamos un modelo esférico simplificado de la superficie de la Tierra con latitud $u \in (-\frac {\pi} 2, \frac {\pi} 2)$ y la longitud $v \in (-\pi, \pi)$ entonces (si el radio se toma como $1$ ), el elemento de superficie viene dado por $\mathrm{d}A = \cos u\ \mathrm{d}u\ \mathrm{d}v$ . Restringir la atención al hemisferio, $H$ , donde $u, v \in (-\frac {\pi} 2, \frac {\pi} 2)$ una simple proyección cartográfica de $H$ se puede obtener simplemente tomando el $x$ y $y$ coordenadas a través de $x = \cos u \sin v$ y $y = \sin u$ que es una transformación suave de uno a uno en $H$ . Ahora, escogiendo un punto con coordenadas $(U, V)$ en $H$ uniformemente según la superficie, la densidad conjunta de $U$ y $V$ es $$f_{U, V}(u, v) = \frac 1 {2\pi} \cos u, \quad \lvert u \rvert, \lvert v \rvert < \frac {\pi} 2.$$

Pregunta

Encuentre la densidad conjunta de $X$ y $Y$ , donde $(X, Y)$ es la imagen del punto aleatorio $(U, V)$ bajo la proyección cartográfica definida anteriormente.

Mi trabajo

Algunos resultados preliminares:

$$\begin{aligned} J & = \begin{vmatrix} \frac {dx} {du} & \frac {dx} {dv} \\ \frac {dy} {du} & \frac {dy} {dv} \end{vmatrix} \\[1 mm] & = \begin{vmatrix} -\sin u \sin v & \cos u \cos v \\ \cos u & 0 \end{vmatrix} \end{aligned}$$

Así,

$$\begin{aligned} \\[1 mm] f_{X, Y}(x, y) & = \frac 1 {2\pi} \cos u\ \lvert J \rvert \\[1 mm] & = \frac 1 {2\pi} \cos^3 u \cos v \\[1 mm] & = \frac 1 {2\pi} x(1 - y^2) \cot v \\[1 mm] & = \frac 1 {2\pi} (1 - y^2) \sqrt {1 - y^2 - x^2} \end{aligned}$$

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Estoy atascado aquí. En primer lugar, ¿puedo saber si mi expresión para $f_{X, Y}(x, y)$ ¿es correcto? En segundo lugar, si es correcto, ¿cómo puedo obtener el apoyo para $f_{X, Y}(x, y)$ ?

Answer 1

Tenemos $$f_{X,Y}(x,y)=f_{U,V}(u(x,y),v(x,y))\color{red}{/|}J\color{red}|$$ donde $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ . He escrito en rojo las partes en las que has flaqueado. Tiene que dividir por el valor absoluto del jacobiano si se calcula como $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ .

Así, $$f_{X,Y}(x,y)=\frac{\cos(u(x,y))}{2\pi\cos^2(u(x,y))|\cos(v(x,y))|}$$ y como $v\in(-\pi/2,\pi/2),\cos v>0$ obtenemos $$f_{X,Y}(x,y)=\frac1{2\pi\cos(u(x,y))\cos(v(x,y))}=\frac1{2\pi[\cos u\cos v](x,y)}$$ y obtuviste $\cos v= \frac {\sqrt {\cos^2 u - x^2}} {\cos u}$ o $\cos v \cos u= \sqrt{ \cos^2 u - x^2} =\sqrt{1-y^2-x^2}$ obtenemos $$f_{X,Y}(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-x^2-y^2}}$$ sobre el círculo $x^2+y^2<1$ y cero en caso contrario. El apoyo se obtuvo utilizando las restricciones de $u,v$ en $f_{U,V}$ : $$\begin{align*} |u|<\pi/2&\implies y=\sin u\in(-1,1)\\ |v|<\pi/2&\implies \frac x{\cos u}=\frac x{\sqrt{1-y^2}}=\sin v\in(-1,1)\\ &\implies\left|\frac x{\sqrt{1-y^2}}\right|<1\\ &\implies x^2<1-y^2 \end{align*}$$